МАТЕМАТИКА. Системы уравнений. Задание 3 для 8-х классов. ( учебный год)

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Системы уравнений Задание 3 для 8-х классов ( учебный год) Долгопрудный, 014

2 Составитель: Т.Х. Яковлева, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ; М. А. Лунина, доцент кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание 3 для 8-х классов ( учебный год), 014, 0 с. Дата отправления заданий по физике и математике 15 января 015 г. Составители: Яковлева Тамара Харитоновна,. Подписано Формат /16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,11. Тираж 450. Заказ 5-з. Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета) ООО «Печатный салон ШАНС» Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., ЗФТШ, тел./факс (495) заочное отделение, тел./факс (498) очно-заочное отделение, тел. (498) очное отделение. Наш сайт: ЗФТШ, , ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна.

3 1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения x x x 5 0, являются линейными уравнениями с переменной x. Уравнение, содержащее переменные x и y, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения x3y 5, x xy y 7 являются уравнениями с двумя переменными. Уравнение вида ax by c называется линейным уравнением с двумя переменными, где xи y переменные, abc,, некоторые числа. Например, уравнения x y 3, x y 0 являются линейными уравнениями с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Например, x3, y 4 является решением уравнения x3y 18, будем эту пару чисел записывать так 3;4. Очевидно, что пара чисел 4;3 не является решением уравнения, т. к При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной x, а на втором месте значение переменной y. Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений x y 3 и 4x y 6 совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные. Справедливы следующие правила при решении уравнений с двумя переменными: 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; ) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 3

4 Пример 1. Укажите три различных решения для уравнения 3x y 0. Если x 0, то y ; если y 0, то x ; если x 1, то y 1. 3 Таким образом, пары чисел 0;, ;0, 1; 1 являются решениями 3 данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения x значение y3x, т. е. любая пара чисел x; 3x, где x любое число, является решением уравнения. Рассмотрим координатную плоскость Oxy и отметим на ней все точки x; y, для которых пара чисел x и y является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение y. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел x ;. Точки, для которых x любое число, а y, лежат на прямой y. Эта прямая параллельна оси x и проходит через точку 0; (см. рис. 1). Рис. 1 Рис. Рассмотрим уравнение x 3. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами x и y на координатной плоскости Oxy. Решениями данного уравнения являются пары чисел 3; y. Точки с координатами x 3 и y лежат на пря- 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 4

5 мой x 3, эта прямая параллельна оси Oy и проходит через точку 3;0 (см. рис. ). Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения. На рис. 1 графиком уравнения является прямая y, на рис. графиком уравнения является прямая x 3. Рассмотрим теперь уравнение x 3y 1 0. Выразим переменную 1 y через x, получаем y x, это уравнение задаёт линейную 3 3 функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При x0 y и при x y 0. График данного урав нения приведён на рис. 3. Рис. 3 Рис. 4 Рассмотрим уравнение x x y Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: x 4 и x y 4 0. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку 4;0. Графиком второго уравнения является график 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 5

6 линейной функции 4 4;0 и y x, эта прямая проходит через точки 0;4. График данного уравнения приведён на рис. 4. Пример. Постройте график уравнения x y 1. Этот пример можно решать двумя способами. Пусть x 0 и y 0, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение x y 1, так как x x и y y. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки A 1;0 и B 0;1. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка AB, где 1;0 A и B 0;1. Пусть теперь x 0 и y 0, тогда получаем уравнение x y 1, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. C. При y 0, y 0 получим отрезок Это будет отрезок BC, где 1;0 CD, где 0; 1 x y D, и при 0, 0 получим отрезок DA. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата ABCD. Этот пример можно решать другим способом. Пусть y 0, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению y1 x. В первом задании мы строили график функции y y Рис. 5 Рис. 6 x (см. рис. 6). График функции x получается зеркальным отражением относительно оси Ox 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 6

7 Рис. 7 Рис. 8 графика функции y x (см. рис. 7). График функции y1 x получается из графика функции y x сдвигом вдоль оси Oy на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки для которых y 0. Получим ломаную ABC с рис. 5. Далее рассматриваем y 0, получим, что графиком уравнения при y 0 является ломаная CDA с рис. 5. В итоге получим квадрат ABCD с рис. 5. Пример 3. Найдите все решения уравнения xy 6, для которых x и y являются натуральными числами. Очевидно, что натуральные числа x и y являются делителями числа 6. Поэтому x и y могут принимать значения 1; ; 3; 6. Следовательно, искомыми решениями являются числа (1;6), (;3), (3;), (6;1). Пример 4. Найти все решения уравнения x 4x y y 8, для которых значения x и y являются целыми числами. Обычно такие примеры формулируют так: найти все решения данного уравнения в целых числах. Преобразуем данное уравнение: x 4x 4 4 y y 1 7, x y1 11, x y1 11, x y x y Если x и y целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа 1 и 11. Решаем 4 системы уравнений: 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 7

8 x y 11, x y 111, x y 111; x y 11; x y1 1, x y1 11, x y 1 11; x y ;4, 4; 6, 8; 6, Решая эти системы, получаем 4 решения: 8;4.. Системы линейных уравнений Решение многих задач сводится к решению систем линейных уравнений. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное числовое равенство. Например, пара чисел (;3) является решением системы уравнений x3y13, x 5y 17, а пара чисел (1;1) не является решением системы, т. к. эта пара не является решением каждого из уравнений системы. Пример 1. Сколько решений имеет система уравнений y3x8, y x 1? 3 Запишем первое уравнение системы в виде y x 4, а второе уравнение системы в виде yx 1. Мы получили две линейные функции, графиками которых являются прямые с разными угловыми коэффициентами. Вам известно, что такие прямые пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, приравняем значения для y. Получаем 4 1, 3 x x 3 4 1, x x 5 x 5; x, тогда y 11. Таким образом, система имеет единственное решение (;1). 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 8

9 Пример. Решите систему уравнений x y5, 4xy10. Из первого уравнения следует, что y5x, а из второго уравнения получим y5x. Графики этих уравнений совпадают. Уравнению удовлетворяет любая пара чисел x, 5 x, где x любое число, а y5x. Система уравнений имеет бесконечно много решений. Пример 3. Решите систему уравнений x y7, xy10. Запишем первое уравнение системы в виде y x 7 и второе уравнение системы в виде y x 5. Графиками этих уравнений являются две параллельные прямые, которые не пересекаются, т. к. x 7 x 5, x 0, а это уравнение не имеет решений. При решении систем применяют метод подстановки, метод сложения и метод введения новых переменных. Покажем на конкретном примере, как применяется метод подстановки. Пример 4. Решите систему уравнений x y4, 5x3y11. Из первого уравнения выражаем y4x, и это значение для y подставляем во второе уравнение системы, получаем: 5x 3 4 x 11, 5x 1 6x 11, x 1, x 1. Подставляем это значение x в выражение для y, получаем: y 4. Пара чисел (1;) является единственным решением системы уравнений. 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 9

10 Теперь приведём пример, где применяется метод сложения. Пример 5. Решите систему уравнений 3xy5, xy10. В этих уравнениях коэффициенты при переменной y отличаются знаком. Сложив уравнения системы, получаем 3x y x y 5 10, 5x 15, x 3. Подставляем найденное значение x, например, в первое уравнение системы, получаем: 33y 5, y 4, y. Система имеет единственное решение (3;). Пример 6. Решите систему уравнений 4x3y11, 3x7 y13. Сделаем коэффициенты при x обоих уравнений противоположными числами, для этого умножим обе части первого уравнения на 3 и обе части второго уравнения на 4, получим систему 1 x9y33, 1x 8y 5. Сложим уравнения системы: 1x 9y 1x 8y 33 5, 19 y 19, y 1. Подставляем это значение для y в первое уравнение системы, получаем: 1x 9 33, 1x 4, x. Пара чисел (;1) является единственным решением системы. 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 10

11 Покажем на конкретном примере, как применяется метод введения новых переменных. Пример 7. Решите систему уравнений Введём новые переменные: 1 1 u, v. Для перемен- x y 3x y ных u и v получим систему уравнений 1 9, x y 3x y x y 3x y u 9v, 7u 18v 5. Умножим обе части первого уравнения на, получим систему u 18v 4, 7u 18v 5. Сложим уравнения системы, получим 9u9, u 1. Из первого уравнения при u 1 следует, что Из условия 1 x y 1 1 v. 9 следует, что xy 1, а из условия 1 1 3x y следует, что 3x y 9. Решаем систему уравнений 9 x y1, 3x y9. Сложим уравнения системы: 5x 10, x, из первого уравнения получаем 4 y1, y 3. Ответ: ;3. 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 11

12 Пример 8. Решите систему уравнений 10 x 5y 3z 9, 6x 4y 5z 1, 3x 4y 6z 3. Уравняем коэффициенты при x в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на 3, а второго уравнения на 5, получаем: 30x 15y 9z 7, 30x 0y 5z 5. Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое уравнение, получаем: 35y16z. Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на, получаем: 4y 8y 5z 1z 1 46, 1y7z 45. Теперь решаем новую систему уравнений: 35y16z, 1y7z45. К первому уравнению новой системы, умноженному на 7, прибавляем второе уравнение, умноженное на 16, получаем: 35 7y116 y , 45y19 y154 70, 437 y 874, y. Подставляем y в уравнение 1y7z 45, получаем: 4 7z 45, 7z 1, z 3. Теперь подставляем y, z 3 в первое уравнение исходной системы, получаем: 10x , 10x , 10x 10, x 1. Ответ: 1;;3. 3. Решение систем с параметром и с модулями ax 4y a, Рассмотрим систему уравнений x ay a. В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: a, x, y. Неизвестными считают x и y, a называют параметром. Требуется найти решения xy, данной системы при каждом значении параметра a. 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 1

13 Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную x из второго уравнения системы: x a ay. Подставляем это значение для x в первое уравнение системы, получаем: aa ay 4y a, a a y a a. Если a, то получаем уравнение 0y 0. Этому уравнению удовлетворяет любое число y, и тогда xy, т. е. при a пара чисел yy ; является решением системы. Так как y может быть любым числом, то система при a имеет бесконечно много решений. Если a, то получаем уравнение 0 y 8. Это уравнение не имеет ни одного решения. Если теперь a, то y a a a a a a, a a x a ay a. a a Ответ: При a система имеет бесконечно много решений вида yy, ; где y любое число; при a система не имеет решений; a a при a, система имеет единственное решение ;. a a Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра a система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра a она не имеет решений. Пример 1. Решите систему уравнений x 3 y1 3, 3xy5. Из второго уравнения системы выражаем x через y. получаем 5 x y, подставляем это значение для x в первое уравнение системы, 3 получаем: 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 13

14 если Выражение 5 y, то 4 5 y 5 3 y 1 3; y 3 y y 0 при 5 5 y y. 5 y. Если 5 y, то 5 5 y y ; Выражение y 1 0, если y 1. Если y 1, то y1 y 1, а если y 1, то y1 1 y. Если y 1, то y1 y 1 и 5 5 y y, получаем уравнение: 4 5 y 3 y 1 3, 4 y 10 3y 3 3, 5 y 10, y. Тогда x Число 1, так что пара 3; является решением 3 системы Пусть теперь y 1, тогда y 1 1 y; y y. Для нахождения y получаем уравнение 4 5 y 3y 3 3, y 3y 6, y, y ; x y Число 13 больше 5, но меньше, чем 1, поэтому пара чисел 7 8 ; является решением системы y 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 14

15 Если 5 y, то получаем уравнение: 4 5 y 3y 3 3, y 3 y 6, y, y. Это значение больше, чем, поэтому решений нет. 7 8 Таким образом, система имеет два решения 3; и ; Решение задач с помощью систем уравнений Пример 1. Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за,5 часа. Если он увеличит скорость на 0 км/ч, то за часа он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите расстояние от города до посёлка. Обозначим через S расстояние между городом и посёлком и через V скорость автомобиля. Тогда для нахождения S получаем систему из двух уравнений,5 V S, V 0 S 15. S Из первого уравнения V S, подставляем это значение V во,5 5 второе уравнение: 0 15, 5 S S Ответ: 15 км. 1 5, 5 S S 15. Пример. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 7 больше исходного. Найдите эти числа. Пусть данное число ab, т. е. число десятков равно a, а число единиц равно b. Из первого условия задачи имеем: ab 15. Если из числа ba вычесть число ab, то получится 7, отсюда получаем второе 10b a 10a b 7. уравнение: 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 15

16 Решаем систему уравнений a b 15, a b 15, 9a 9b 7, a b 3. Сложим уравнения последней системы, получаем: a 1, a 6, тогда b 9. Заданное число 69, второе число 96. Ответ: 69 и 96. Пример 3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось 140 т стали с содержанием никеля 30%? Обозначим через x массу стали с 5% содержанием никеля и через y массу стали с 40% содержанием никеля. Тогда x y 140. В x тоннах стали содержится 0,05x никеля, а в y тоннах стали содержится 0, 4y никеля. Масса никеля равна 0,05x 0,4y и составляет 30% от 140 т, т. е т 4 т. Получили второе уравнение 10 0,05x0,4 y 4. Умножим обе части уравнения на 0, получим: x8y 840. Для нахождения x и y получили систему уравнений x y140, x 8y 840. Вычтем из второго уравнения первое уравнение, получим: 7y700, y 100, тогда x 140 y 40. Ответ: 40 т, 100 т. Пример 4. Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за ч 4 мин. Если оператор будет работать ч, а ученик 1 ч, то будет выполнено 3 всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи? 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 16

17 Обозначим всю работу за 1, производительность оператора за x и производительность ученика за y. Учитываем, что 1 ч 4мин ч ч. 5 5 Из первого условия задачи следует, что x+y Из второго условия задачи следует, что x y. Получили систему уравнений 3 x+y 1 1, 5 x y. 3 Решаем эту систему методом подстановки: y x; 1; 1; 1; 3 x+ 3 x 5 3 x 5 5 x x ; x ; y 3 6. Ответ: Для оператора понадобится 4 часа (1: 1 4 ), а ученику 6 ча- 4 сов (1: ). Контрольные вопросы 1(4). Постройте графики уравнений: а) xy 1; б) x y y x 1 0; в) y x1 ; г) xy yx 1. (). Решите систему уравнений методом подстановки: x y1, x y , ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 17

18 3(). Решите систему уравнений методом сложения: x3y1, 3x y 6. 4(). Найдите точку пересечения прямых: y x 1 0 y 3 x1 0. и 5(3). Сколько решений имеет система уравнений: 3x y1, а) 9x6 y3; б) в) 5x7 y4, x3y1; 4x3y5, 8x6 y3? 6(). При каких значениях параметра a система x a 1 y 3, 4x5y6 имеет бесконечно много решений? 7(). При каких значениях параметра a система xy1, x 4y a не имеет решений? 8(3). Решите систему уравнений: 3x y1, x y 3. 9(3). Постройте график уравнения: x y (3). Решите в целых числах уравнение: x yx , ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 18

19 1(3). (4). 3(3). 3 1, x y 1 x y x y 1 x y 1 x y 1, x y 3. x y z, x y z 1, x y z. Задачи Решите системы уравнений: 4(4). При всех значениях параметра a решите систему уравнений: x a 1 y 1, a x 4 3a y a. 5(4). В двух баках содержится 64 л бензина. Если из первого бака перелить во второй 0% имеющегося в нём бензина, а затем из второго обратно в первый 0% оказавшегося в нём бензина, то в обоих баках будет бензина поровну. Сколько бензина в каждом баке было первоначально? 6(4). Если двузначное число сложить с утроенной суммой его цифр, то получится 17. Если же между цифрами этого двузначного числа вписать цифру и полученное трёхзначное число разделить на искомое двузначное, то в частном получится 9 и в остатке 18. Найти двузначное число. 7(4). Два фрезеровщика, из которых один работал 5 дней, а другой 8 дней, изготовили 80 деталей. Применив новые фрезы, первый повысил производительность своего труда на 6,5%, а второй на 50%, и уже за 4 дня совместной работы они изготовили 76 деталей. Сколько деталей стал изготавливать каждый фрезеровщик за один день? 014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 19

20 8(4). Из А в В вышел пешеход. Спустя 1 час 4 мин в том же направлении из А выехал велосипедист и через час был на расстоянии 1 км позади пешехода, а ещё через час велосипедисту оставалось до В вдвое меньшее расстояние, чем пешеходу. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние АВ равно 7 км. 9(4). В два бассейна, один из которых содержал 30 м 3 воды, а другой 140 м 3, поступало равномерно различное количество воды. Через 5 мин в первом бассейне было только на 10 м 3 воды меньше, чем во втором, а ещё через 1 час 35 мин в нём было уже в полтора раза больше воды, чем во втором бассейне. Сколько кубометров воды поступало в каждый бассейн за 1 мин? 10(4). Решите в целых числах уравнение: xy 3x y , ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. 0