Тренировочная работа по математике от 27 апреля 2016
1. Летом килограмм клубники стоит рублей. Маша купила кг г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с рублей?
Маша получит рубля сдачи с рублей, заплатив за покупку рублей.
Ответ:
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ:
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведенной к гипотенузе.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Как видим, длина гипотенузы равна .
Потому длина медианы –
Ответ: .
4. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Рассмотрим следующие события:
А – «компьютер прослужит больше года, но меньше 2»,
В – «компьютер прослужит больше 2-х лет»,
С – «компьютер прослужит больше года».
Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть
Но , так как не может одновременно произойти и А, и В.
Ответ:
5. Найдите корень уравнения
Ответ:
6. Основания равнобедренной трапеции равны и , а ее периметр равен Найдите площадь трапеции.
Так как периметр равнобедренной трапеции ( ) равен а основания и то на равные боковые стороны ( ) приходится по единиц.
Тогда (например, из треугольника , по т. Пифагора) высота равна .
Ответ:
7. На рисунке изображен график функции – производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Производная в точках, в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, равна нулю.
Точка, в которой производная равна нулю, – одна – это точка с абсциссой
Ответ:
8. В цилиндрический сосуд налили см воды. Уровень жидкости оказался равным см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на см. Чему равен объем детали? Ответ дайте в см .
Объем погруженной детали равен объему вытесненной жидкости.
Раз уровень жидкости поднялся на см (а был – ), то объем вытесненной жидкости составляет части объема жидкости.
Поэтому объем детали есть то есть см
Ответ:
9. Найдите значение выражения
Ответ:
10. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле При каком значении угла (в градусах) время полета составит секунды, если мяч бросают с начальной скоростью м/с? Считайте, что ускорение свободного падения м/с
Подставляем известные величины в формулу :
Так как нас интересует острый угол, то
Ответ:
11. Первый и второй насосы наполняют бассейн за минут, второй и третий – за минут, а первый и третий – за минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Совместная скорость работы первого и второго насосов – части бассейна в минуту.
Совместная скорость работы второго и третьего насосов – части бассейна в минуту.
Совместная скорость работы первого и третьего насосов – части бассейна в минуту.
Тогда совместная скорость работы двух первых, двух вторых и двух третьих насосов – то есть части бассейна в минуту.
А значит, совместная скорость работы трех насосов – части бассейна в минуту.
Стало быть, три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за минут.
Ответ:
12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
– точка максимума функции, в ней же и достигается наибольшее значение функции на отрезке
Ответ:
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
a)
Применяем формулы приведения к левой части уравнения.
б) Найдем все корни уравнения из отрезка при помощи тригонометрического круга.
Ответ:
а) ;
б)
14. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой и радиусом основания проведена хорда равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр перпендикулярный Построено сечение проходящее через прямую перпендикулярно прямой так, что точка и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объем пирамиды
а) Проведем образующие цилиндра через точки и Мы вполне можем обозначить соответствующие точки образующих верхнего основания за и .
Во-первых, сечение , конечно-же, содержит . Во-вторых, полученное сечение перпендикулярно (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), ведь и перпендикулярна, например, так как образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям (а значит, и любым прямым в них).
Докажем, что – прямоугольник, это и будет означать, что
Во-первых, – параллелограмм в силу равенства и параллельности образующих Во-вторых, как мы уже говорили, образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям, потому, например,
б) Пусть – центры верхнего и нижнего оснований. Пусть – середина
Высота пирамиды (с основанием ) – это .
Треугольник также, как и треугольник – равносторонний со стороной, равной 6.
Высота равностороннего треугольника со стороной , как несложно заметить, есть
Ответ: б)
15. Решите неравенство
Найдя корни квадратного трехчлена (относительно ) левой части неравенства, получим:
Вторая скобка левой части положительна на области определения неравенства. «Откидываем» ее.
Ответ:
16. Окружность, проходящая через вершины и прямоугольной трапеции с основаниями и пересекает меньшую боковую сторону в точке и касается прямой . Известно, что
а) Докажите, что – биссектриса угла
б) В каком отношении прямая делит площадь трапеции?
а) Так как то – диаметр оружности.
Треугольники равны по гипотенузе и катету ( по условию).
Треугольник ( – центр окружности) – равнобедренный, потому
– точка касания верхнего основания трапеции и окружности, поэтому . Тогда
При всем этом, вписанный угол опирается на дугу так же, как и вписанный угол равный Потому и
Итак, то есть – биссектриса угла
б) Используя обозначения пункта (а), можно заметить, что (углы – накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ).
Но тогда – равносторонний (все углы по ).
Пусть – точка пересечения
Очевидно, треугольники равны. При этом площадь треугольника составляет половину площади треугольника , который, в свою очередь, составляет половину площади треугольника .
Ответ: б)
17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равыным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит млн.
Пусть ( ) – размер кредита.
Первые три года заемщик выплачивает только проценты по кредиту. Каждая такая выплата составляет млн. рублей.
На начало 4-го года на счету заемщика, таким образом, по-прежнему долг в млн. рублей.
Пусть в конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы .
Перед первой выплатой (к концу 4-го года) в млн. – на счету долг в размере Тогда после первой выплаты на счету остается долг в
Перед второй выплатой (к концу 5-го года) в млн. – на счету долг в размере Заемщик гасит полностью кредит, внося млн. во второй раз.
Общая сумма выплат заемщика составляет млн. рублей. С учетом того, что , сумма выплат составит или млн. рублей.
Нас интересует наименьший размер кредита, когда общая сумма выплат заемщика превысит млн., поэтому переходим к решению неравенства и оценке наименьшего значения .
Так как то наименьшее решение – это
Ответ:
18. Найдите все неотрицательные значения , при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Первая строка системы задает отрезок с концами
Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки до точек При этом расстояние между точками есть , а в правой части уравнения как раз и стоит .
Вторая строка системы – семейство прямых , параллельных оси располагающихся при этом не ниже оси
Нам остается потребовать (для того, чтобы исходная система имела бы единственное решение), чтобы значение было бы не больше
Так как то неравенство можно переписать так
и провести метод замены множителей
Ответ:
Полезно также посмотреть задания №18 здесь, здесь и здесь.
19. Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогресcии, для которых и – различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых и – различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь если известно, что и – различные натуральные числа?
а) Да, существуют. Например, вторая прогрессия – . Тогда на роль первой подойдет, например, –
б) Допустим, что существуют такие прогрессии, для которых и – различные натуральные числа.
Пусть шаг первой прогрессии – второй член прогресии –
Пусть шаг второй прогрессии – второй член прогресии –
Тогда существуют различные натуральные числа , что
Так как , то с одной стороны имеем
Итак, получаем, что
Тогда с одной стороны имеем С другой то есть Тогда и
Пришли к противоречию.
в) Пусть шаг первой прогрессии – второй член прогресии –
Пусть шаг второй прогрессии – второй член прогресии –
Тогда существуют различные натуральные числа , что
Тогда, с одной стороны, с учетом того, что имеем
С другой стороны,
Тогда , то есть и , откуда
Значение не подходит.
Возьмем . Тогда имеем такие прогрессии:
Ответ: a) да; б) нет; в) .