Задание 17. рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений за счет увеличения

1 Вебинар 6 (6-7) Тема: Текстовые задачи ЕГЭ Профиль Задание 7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более,4 млн. рублей, а наименьший - не менее,6 млн. рублей.. 5 января планируется взять кредит в банке на сумму,8 млн. рублей на 4 месяца. Условия возврата таковы: - -го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со -го по 4-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 5-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно вернуть банку в течении первого года кредитования?. 5 июля планируется взять кредит в банке на месяц. Условия возврата таковы: - -го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со -го по 4-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 5-е число предыдущего месяца. Известно, что на -й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течении всего срока кредитования? 4. В начале года Алексей приобрел ценную бумагу за тыс. рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 тыс. рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей? 5. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года становится равной тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят тыс. руб., к концу второго 4 тыс. руб. и т. д.), в течение лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 5% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной? 5.. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. руб. в конце года ( ;;. ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно? 6. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений за счет увеличения производства товара, уменьшило налог вдвое (до ), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге равном рублей за единицу товара объем производства товара составляет единиц, если это число положительно?

2 Вебинар 6 (6-7) 7. Строительство нового завода стоит 7 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на 8. таком заводе равны,5x x млн.рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px,5x x. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет? Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v (км/ч), составляет 9,4v руб. за час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода км пути была наименьшей? Решение. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более,4 млн. рублей, а наименьший - не менее,6 млн. рублей. Пусть сумма кредита, срок, на который взят кредит, r k - коэффициент наращения долга, сумма для равномерного погашения кредита. Долг перед банком по состоянию на июль Сумма долга после начисления процентов по состоянию на январь Выплаты = начисленные k k k k k k k k k проценты + и 9. По условию задачи 4,5 Наибольший годовой платеж по кредиту: 4,5 k 4,5k 4,5k 4,4 ; 4,5k 5,4 ; k,. 9 k 4,5k,6 ; k,. 9 k и тогда r %. Наименьший годовой платеж по кредиту: Получим, что при данных условиях, Ответ:. Замечание: Поскольку выплаты k, линейно зависят от, то они образуют арифметическую прогрессию. k, d k r

3 Вебинар 6 (6-7). 5 января планируется взять кредит в банке на сумму,8 млн. рублей на 4 месяца. Условия возврата таковы: - -го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со -го по 4-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 5-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно вернуть банку в течении первого года кредитования? По условию сумма кредита,8 процентов на долг по ставке % кредита млн. рублей; срок, на который взят кредит 4 месяца; начисление r (коэффициент наращения k,,8 млн. рублей. 4 4,8,8,75 4,,8,86,75,,7595 Долг перед банком по состоянию на 5 - ое число Сумма долга после начисления процентов по состоянию на -ое число Выплаты = начисленные проценты +,86,8, 4 ); сумма для равномерного погашения,7595,75,95 4 Первый год кредитования - это месяцев. Первая выплата по кредиту,, вторая выплата -,95. Так как выплаты составляют арифметическую прогрессию, то d,95,,5. Сумма, которую нужно вернуть банку в течении первого года кредитования d 6,,5 6,. Ответ. 5 июля планируется взять кредит в банке на месяц. Условия возврата таковы: - -го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со -го по 4-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 5-е число предыдущего месяца. Известно, что на -й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течении всего срока кредитования? Пусть сумма кредита, срок, на который взят кредит r % (коэффициент наращения k, ), сумма для равномерного погашения кредита. Долг перед банком по состоянию на 5 - ое число Сумма долга после начисления процентов по,, состоянию на - ое число Выплаты = начисленные проценты +,, Первая выплата по кредиту, По условию 44,4, начисление процентов на долг по ставке. вторая -, d. с другой стороны, d,. Получим, что 84. Сумма, которую нужно вернуть в течении всего срока кредитования d d 44,4 9,4. Ответ: 94.

4 Вебинар 6 (6-7) 4. В начале года Алексей приобрел ценную бумагу за тыс. рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 тыс. рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей? Последовательность чисел, выражающая стоимость ценной бумаги, является арифметической прогрессией, где a a d, где N. Если Алексей продает ценную a, 4 d и бумагу и кладет вырученные деньги в банк, то коэффициент наращения на вложенную сумму равен, и в банке он постоянен. Выясним, как изменяется коэффициент доходности ценной бумаги, если она находится на руках у Алексея. a k a k 4 7. Заметим, что функция, выражающая коэффициент доходности, является убывающей при всех N. Перекладывать деньги в банк после продажи ценной бумаги имеет смысл, когда коэффициент ее доходности станет меньше банковского коэффициента наращения , ;, ; ; 4 ; 8,5 ; наим это начало года, при 9 - это начало 9 года. Значит, Алексей должен продать ценную При бумагу и положить вырученные деньги в банк в начале 9 года, чтобы через 5 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей. Ответ: 9. На руках В банке Начало года Конец года Коэффициент Начало года Конец года 4 5 5,6,, ,6, 5 5 5, 5. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года становится равной тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят тыс. руб., к концу второго 4 тыс. руб. и т. д.), в течение лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 5% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной? В конце года стоимость акций становится равной N. тыс.руб., а в конце года - тыс.рублей, где Если Пенсионный фонд продает акции и кладет вырученные деньги в банк, то коэффициент наращения на вложенную сумму равен 5,5 и в банке он постоянен. Выясним, как изменяется коэффициент доходности акций, если они находятся в Пенсионном фонде. k (при положительных значениях функция k монотонно убывает). Перекладывать деньги в банк после продажи акций имеет смысл, когда коэффициент их доходности станет меньше банковского коэффициента наращения,5 ; 8 4 ; 4 ; 9. Значит, в конце девятого года нужно продать акции и положить деньги в банк, чтобы прибыль была максимальной. наим Ответ: 9.

5 Вебинар 6 (6-7) 5.. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. руб. в конце года ( ;;. ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно? В конце года стоимость ценных бумаг становится равной тыс.руб., а в конце года - тыс.рублей, где N. Если Пенсионный фонд продает ценные бумаги и кладет вырученные деньги в банк, то коэффициент наращения на вложенную сумму равен r и в банке он постоянен. Выясним, как изменяется коэффициент доходности ценных бумаг, если они находится в Пенсионном фонде. k. При увеличении значение коэффициента уменьшается значениях функция Год k монотонно убывает). Начало года Стоимость конец года Коэффициент доходности k k k (при положительных Коэффициент наращения k k r r На год коэффициент доходности ценных бумаг будет еще больше коэффициента наращения, а вот на году он становится уже меньше банковского коэффициента r. k r k r r r 44 4 Ответ: 4 4 r. 44 4

6 Вебинар 6 (6-7) 6. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений за счет увеличения производства товара, уменьшило налог вдвое (до ), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге равном рублей за единицу товара объем производства товара составляет единиц, если это число положительно? Налоговые сборы составляют f рублей при 5. Графиком функции y f является парабола, ветви f f которой направлены вниз. При этом функция Поскольку f достигает своего максимума при 4 повысить налог на 5%. составляет 5% от, значит,. 4, государству следует Ответ: Строительство нового завода стоит 7 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции,5x x млн.рублей в год. Если продукцию завода продать по цене на таком заводе равны p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px x x,5. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет? Прибыль фирмы (в млн. рублях) за один год выражается как f x px,5x x Графиком функции функция достигает в вершине, f x,5x p x. y f x является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшего значения x в p p,5 и p fнаиб f p,5 p p. Строительство завода окупится не более чем за 6 лет, если p 7 ; p 64 ; p p 5 ; p, 6 учитывая, что p цена продукции не может быть отрицательной. Наименьшее значение p. Ответ:.

7 Вебинар 6 (6-7) 8. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v (км/ч), составляет 9,4v час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода км пути была наименьшей? руб. за Время, которое затрачивает катер на прохождение км пути со скоростью v км/ч равно v ч. Стоимость прохода км пути при скорости v км/ч равна f v 9,4v руб. Исследуем полученную v функцию на минимум при v. 9 f v,4v ' 9,4 v5v5 ' ; f v,4. Учитывая, что v, получим, f v при v v v ' v 5 и f v при v 5, значит v 5 - это точка минимума и в ней функция достигает наименьшее значение. Ответ: 5.