ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- 5 УДК ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Н. В. Филенкова, А. Ю. Власов Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН, Красноярск Сибирский государственный аэрокосмический университет, Красноярск Сибирский государственный технологический университет, Красноярск Приведено точное решение задачи нелинейного изгиба тонкого упруго закрепленного на одном конце стержня приложенной на свободном конце поперечной сосредоточенной нагрузкой постоянного направления. Решение записано в параметрическом виде и выражено через эллиптические функции Якоби. На основе точных решений получены приближенные формулы для стрелы прогиба стержня. Ключевые слова: изгиб стержней, упругое закрепление, эллиптические функции Якоби. Введение. Задачи геометрически нелинейного изгиба тонких стержней в общей постановке рассмотрены в [, ], задачи изгиба стержней на упругих опорах и упругом основании в работах [3, 4]. В [5, 6] развита теория геометрически нелинейного изгиба тонких стержней. В работе [6] аналитически найдены и систематизированы формы изгиба стержня при различных нагрузках постоянного направления и способах закрепления концов стержня. Полученные решения записаны в параметрическом виде и выражены через эллиптические интегралы и функции Якоби, зависящие от одного параметра модуля эллиптических функций, определяемого граничными условиями и внешней действующей силой, в отличие от работ [, ], где решения зависели от трех параметров. В [7] вычислены критические нагрузки и найдены равновесные формы стержня, жестко защемленного на одном конце и свободного на другом, при нагружении следящей сосредоточенной силой. Однако в указанных работах не учитывается возможность упругого закрепления стержня, что ограничивает область применения полученных результатов. В настоящей работе рассматривается случай, когда стержень упруго закреплен на одном конце и свободен на другом. Построено точное аналитическое решение задачи о нелинейном изгибе такого стержня при нагружении свободного конца поперечной силой постоянного направления. Вычислены критические нагрузки и найдены равновесные формы изогнутого стержня. Получены приближенные формулы для стрелы прогиба.. Решение задачи об изгибе упруго закрепленного стержня. Рассмотрим тонкий нерастяжимый стержень длиной L с изгибной жесткостью EI. Выберем декартову систему координат xy, так чтобы изначально прямой стержень был расположен вдоль Работа выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки (грант 5G07) и в рамках Программы Министерства образования Российской Федерации Развитие научного потенциала высшей школы ( 448).

2 5 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- g l x y P Рис.. Система координат оси x, упруго закреплен на левом конце в начале координат и свободен на правом конце (рис. ). Стержень изгибается поперечной силой P, сосредоточенной на правом конце стержня, направление действия которой не меняется. Обозначим через l длину дуги стержня от левого конца до текущей точки, через γ(l) угол между касательной в текущей точке к линии стержня и отрицательным направлением оси y. Тогда согласно [6] уравнение равновесия стержня запиcывается в виде d γ dt + q sin γ = 0, () где t = l/l безразмерная длина, изменяющаяся от 0 до ; q = P L /(EI) собственное число; P модуль сосредоточенной силы. На упруго закрепленном конце стержня имеем граничное условие третьего рода γ(0) h dγ(0) = π dt, () где h = EI/(cL) коэффициент упругого закрепления, определяемый свойствами заделки и стержня; c модуль кручения, определяемый упругими свойствами заделки [3, 8]. Введенный таким образом коэффициент h позволяет получить известное граничное условие для защемленного конца [6] в случае, если модуль кручения c велик (h 0). В случае, если модуль кручения c мал (h ), с помощью предельного перехода можно получить граничное условие для шарнирно закрепленного конца. На свободном конце стержня изгибающий момент отсутствует: dγ() = 0. (3) dt Согласно [6] решение уравнения () записывается в виде γ = arcsin [k sn (qt + F )], (4) где sn эллиптический синус Якоби; связь с силой P модуля эллиптических функций k и параметра F (констант интегрирования) определяется из граничных условий. Введем обозначение для аргумента эллиптических функций u = qt + F. (5) Используя граничное условие (), получим трансцендентное уравнение для нахождения константы интегрирования F : arcsin (k sn F ) hkq cn F = π/. (6)

3 Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Н. В. Филенкова, А. Ю. Власов 53 F,,8,4,0 k 0,75 0,85 0 h Рис.. Зависимость константы интегрирования F от эллиптического модуля k и коэффициента упругого закрепления h для первой и второй мод: n = ; n = Из условия (3) следует, что cn (q + F ) = 0, откуда q = (n )K(k) F (7) (n =,, 3. номер моды решения; K(k) полный эллиптический интеграл первого рода). Из системы уравнений (6), (7) находится спектр собственных значений q n (k), который, в свою очередь, определяет выражение для приведенных нагрузок в соответствии с номером моды n: P/P c (/π) q = (/π) [(n )K(k) F ]. (8) Здесь P c = (π/) EI/L эйлерова критическая сила. Выражение (8) имеет такую же структуру, что и выражение для приведенных нагрузок стержня с защемленным концом при нагружении силой постоянного направления [6]. В случае поперечного нагружения параметр k изменяется в диапазоне / k. Параметр F находится при численном решении системы уравнений (6), (8), когда заданы значения эллиптического модуля k и коэффициента h. Для различных диапазонов нагрузки P/P c, находящихся между последовательными порогами, которые могут быть определены из линейного приближения, получаем серию поверхностей, склеенных по двум линиям: ) при пороговом значении модуля k = /; ) при h = 0. На рис. представлены поверхности для мод n =,. В случае жесткого защемления, которому соответствует линия h = 0 на рис., значение параметра F определяется выражением [6] F = F [arcsin ( /k), k]. При k = /, что соответствует пороговым нагрузкам, и любом коэффициенте упругого закрепления h (линия k = / на рис. ) F = K( /). Тогда из (8) следует выражение для пороговых нагрузок, определяемых номером моды n [6]: P n /P c = (n ) [(4/π)K( /)] 5,6(n ). (9) На рис. 3 представлена зависимость приведенной нагрузки (8) от эллиптического модуля k при различных значениях h для первой и второй мод. С увеличением значений коэффициента h для первой и второй мод поверхности располагаются ниже, чем при h = 0. Это означает, что в случае упругого закрепления прогибы одной и той же величины достигаются при нагрузках, меньших, чем в случае защемленного стержня.

4 54 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- P/P c 6 y/l 0, , 0 0,4 0,8 x/l P /P c 4 _0, 4 0 P /P c h 0 0,8 0,7 0,9,0 k _0,4 _0,6 _0,8 P Рис. 3 Рис. 4 Рис. 3. Спектр собственных значений уравнения равновесия упруго закрепленного стержня при поперечном нагружении для первой и второй мод: n = ; n = Рис. 4. Формы прогиба консоли при h = 0,4 и различных значениях нагрузки P/P c :, первая мода ( P/P c = 0,004; P/P c = 0,79); 3, 4 вторая мода (3 P/P c = 5,58; 4 P/P c = 5,48) Интегрируя с учетом (5) соотношения dx/dl = sin γ, dy/dl = cos γ, получим выражения для координат произвольной точки стержня: x L = k (n )K(k) F (cn F cn u), y L = t (n )K(k) F (E(am u, k) E (k)), где E(am u, k), E (k) = E(am F, k) неполные эллиптические интегралы второго рода от эллиптической амплитуды; t приведенная длина стержня. Выражения (0) задают в параметрическом виде форму профиля изогнутого стержня. На рис. 4 показаны формы прогиба упруго закрепленного стержня для ряда значений приложенной силы при h = 0,4 для первой и второй мод. Координаты точек перегиба. Точки, в которых обращается в нуль вторая производная d y/dx, являются точками перегиба линии стержня. Обозначим через t искомую криволинейную координату такой точки. Вычислим с учетом (4) вторую производную функции, описывающей линию изгиба стержня, заданной параметрическими уравнениями (9) вида x = x(t), y = y(t): d y dx = x y y x x 3 = sin 3 γ dγ dt = kq cn u sin 3 γ. Учитывая свойства нулей эллиптического косинуса Якоби cn [(m + )K(k)] = 0 и выражение (7) для собственного числа q, из последнего выражения получим [(n )K(k) F ]t + F = (m + )K(k), (0)

5 Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Н. В. Филенкова, А. Ю. Власов 55 где n =,, 3. ; m номер нуля эллиптического косинуса, совпадающий с порядковым номером точки перегиба. В результате имеем t nm = (m + )K(k) F (n )K(k) F (F находится из уравнения (6)). Число точек перегиба на моде равно номеру моды. Номер точки перегиба m зависит от номера моды решения и изменяется в диапазоне 0 n. На первой моде имеется одна точка перегиба на конце стержня: t 0 =, на второй моде появляется вторая точка перегиба, которая перемещается вдоль стержня при / k, на третьей моде имеется три точки перегиба. В работе [5] указаны координаты перемещающихся точек перегиба для жестко защемленной консоли: при n = в интервалах 0 t 0 /3, t =, при n = 3 в интервалах 0 t 30 /5, / t 3 3/5, t 3 =. Эти интервалы соответствуют случаю изгиба упруго закрепленной консоли при h = 0. Координаты точек сжатия. Точками сжатия будем называть точки, в которых совпадают угол наклона касательной и угол наклона сжимающей силы к оси x. Искомую криволинейную координату такой точки обозначим через t 0. Положив γ(t 0 ) = 0 в выражении для угла наклона касательной (4), найдем 0 = arcsin [k sn (qt 0 + F )]. Тогда, учитывая свойства нулей эллиптического синуса sn [mk(k)] = 0 и выражение (7) для собственного числа q, получим [(n )K(k) F ]t 0 + F = mk(k), где n =,, 3. ; m номер нуля эллиптического синуса, совпадающий с порядковым номером точки сжатия. В результате имеем t nm 0 = mk(k) F, () (n )K(k) F (F находится из уравнения (6)). Число точек сжатия на моде равно n. Номер точки сжатия принимает значения m =. n. На первой моде точки сжатия отсутствуют. При n = имеется одна точка сжатия, которая при / k лежит в интервале / t 0 /3; при n = 3 две точки сжатия, лежащие в интервалах /4 t 3 0 /5, 3/4 t3 0 4/5. На рис. 5 приведены зависимости координат точек перегиба и сжатия от силы P/P c. Вертикальные линии на рис. 5 соответствуют пороговым значениям нагрузок (8). Горизонтальные линии соответствуют нижним границам интервалов изменения координат точек сжатия и перегиба. (Для всех этих линий k = /.) С увеличением значения h верхние границы интервалов изменения точек перегиба и сжатия уменьшаются и при h совпадают с нижними границами. Иными словами, координаты точек перегиба и сжатия при h не зависят от величины действующей силы и принимают значения t nm = m/(n ), t nm 0 = m/((n )), соответствующие положению точек на оси консоли при пороговых нагрузках P n /P c. При любых значениях коэффициента h, действующей силы P/P c и номера моды n у изогнутой консоли имеется точка перегиба, расположенная на свободном конце..3. Стрела прогиба. Точное выражение для стрелы прогиба (прогиба конца стержня) имеет вид f(k) y() L где E(k) полный эллиптический интеграл второго рода. = E(k) E (k) K(k) F, ()

6 56 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- t nm 0, t nm,00 0,75 6 f,0 0, , ,5 0 P /P c P /P c 40 P 3 /P c 80 P/P c 0,6 0,4 0, 0 P/P c Рис. 5 Рис. 6 Рис. 5. Зависимости координат точек перегиба t nm и сжатия t nm 0 от поперечной нагрузки при различных значениях h: сплошные линии h = 0, штриховые линии h =,; t 30 ; t 0 ; 3 t 3 ; 4 t 0 ; 5 t 3 0 ; 6 t 3 0 Рис. 6. Зависимость стрелы прогиба от P/P c при различных значениях h: h = 0;, h = 0, ( приближение по формуле (3)); 3 h =,; 4 h = 4,5; 5 h = 7 На рис. 6 приведена зависимость стрелы прогиба от нагрузки при различных значениях коэффициента h. Видно, что при одних и тех же значениях нагрузки значение стрелы прогиба для упруго закрепленного стержня увеличивается с ростом h.. Приближенные зависимости для стрелы прогиба. Получим приближенные выражения для эллиптических интегралов, входящих в выражения для стрелы прогиба (), для двух предельных значений коэффициента h. Рассмотрим выражение (6), определяющее параметр F в случае первой моды. Случай малых значений коэффициента h (h 0). Положим в (6) h = 0, тогда F = F 0, F 0 = F (arcsin [ /(k)]). При малом положительном изменении коэффициента h в окрестности нуля F можно представить в виде F = F 0 ± F, где F малая добавка. Разлагая члены выражения (6) в ряд Тейлора по малому параметру F, имеем arcsin [k sn (F 0 ± F )] π/4 ± (4k ) / F/, cn (F 0 ± F ) (4k ) / /(k) (/(k)) F. Подставляя эти разложения в (6) и учитывая, что F 0 при h 0, получаем приближенное выражение F F 0 + (K(k) F 0 )h. (3) Учитывая, что E = E(am F, k), и разлагая в ряд по малому параметру F, получаем E E 0 + (K(k) F 0 )h/, (4)

7 Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Н. В. Филенкова, А. Ю. Власов 57 где E 0 = E(arcsin [ /(k)]). Из выражений () (4) получим приближенное выражение для стрелы прогиба упруго закрепленного стержня под действием поперечной нагрузки в случае малых значений коэффициента h: f(k) (E(k) E 0) (K(k) F 0 )h/. (5) (K(k) F 0 )( h) При h 0 соотношение (5) представляет собой выражение для стрелы прогиба жестко защемленного стержня при поперечном нагружении [9]. Используя результаты работы [9] для разложений разностей эллиптических интегралов E(k) E 0, K(k) F 0 в ряд по малому параметру ξ = (k /) с учетом трех первых членов, получим приближенное выражение для стрелы прогиба: f(k) ξ + 7ξ ( ξ + 497ξ +. )( h) + h h. (6) Аналогично линеаризуем выражение (8) для приведенной нагрузки P/P c. Учитывая приближенное выражение (3) для F и вводя обозначение для приведенной нагрузки λ P/P c, имеем λ = (/π) ( h) [K(k) F 0 ]. Используя результаты работы [9] для разложения K(k) F 0 в ряд по малому параметру ξ до второго члена включительно, представим полученный результат в виде кубического уравнения ( ξ ) 3 + 3/ ξ π λ/( 3/4 ( h)) = 0. (7) Решая уравнение (7) с учетом / k относительно ξ по формуле Ферро Кардано и разлагая его в ряд по малому параметру λ, получаем приближенную зависимость параметра ξ от приведенной нагрузки λ: ( π ) ( λ ξ ( h) 8 λ ) 64( h) (8) Подставляя (8) в (6), разлагая в ряд по малому параметру λ и учитывая два члена в разложении, получим приближенное выражение для стрелы прогиба в зависимости от приведенной нагрузки: f(λ) π ( h) 3 λ + π (π 4) 384( h) 5 λ (9) Линейный член в (9) в предельном случае абсолютно жесткой заделки переходит в известное в теории сопротивления материалов приближенное выражение для стрелы прогиба стержня под действием поперечной нагрузки. При малых значениях коэффициента h формула (9) может быть использована для определения величины прогибов, не превышающей 0 % длины стержня. Случай больших значений коэффициента h (h ). Положим в (6) h, тогда F = K(k). Следовательно, при бесконечно больших положительных значениях коэффициента h F можно представить в виде F = K(k) ± F, где F малая добавка. Разлагая члены выражения (6) в ряд Тейлора по малому параметру F, получаем arcsin [k sn (K(k) ± F )] arcsin k (/)k( k ) / F, cn (K(k) ± F ) ( k ) / F.

8 58 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- Подставляя эти разложения в (6), имеем F = ±R/h /, где R = (arcsin k π/4)/(k k ). Учитывая, что F = K(k) ± F, E = E(am F, k), получаем приближенные выражения F = K(k) ± R/h /, E = E(k) ± ( k )R/h /. (0) С учетом выражений (), (0) приближенное выражение для стрелы прогиба упруго закрепленного стержня под действием поперечной нагрузки имеет вид f(k) ( k ). () Разложив выражение () в ряд по малому параметру ξ, получим f(k) ξ + ξ () Из выражения () следует, что при k / (P 0) параметр ξ и стрела прогиба стремятся к нулю, при k (P ) стрела прогиба согласно () равна единице. Подставляя (0) в (8), находим λ 4R /(π h). (3) Разлагая в ряд по малому параметру ξ до второго порядка, запишем выражение (3) в виде квадратного уравнения ξ + ξ π λh/8 = 0. (4) Решая уравнение (4) относительно ξ и учитывая / k, получим выражение для ξ в зависимости от приведенной нагрузки: ξ ( /)( + π λh/4 ). (5) Подставив (5) в (), найдем зависимость стрелы прогиба от приложенной силы при больших значениях коэффициента h и малых значениях нагрузки λ. Такой подход к линеаризации в данном случае позволяет получить только линейный член в разложении по λ: f(λ) = (π h/4)λ (6).3. Случай малых значений нагрузок λ (λ 0). Случай λ 0 эквивалентен предельным переходам k / или ξ 0. Линеаризуем точное выражение (6) с учетом (7), выполнив разложение в ряд по малому параметру λ. Для этого в выражении (6) заменим q и F, учитывая, что λ = (/π) q, F = K(k) (π/) λ при n =. Получаем arcsin [k sn (K (π/) λ)] hk(π/) λ cn(k (π/) λ ) = π/. (7) Разложив выражение (7) в ряд по малым значениям λ и ограничившись в разложении линейным членом, получим приближенное выражение для приведенной нагрузки λ 8(k /) π k k ( h + k ). (8) Выполнив разложение (8) в ряд в окрестности ξ до второго порядка малости, запишем полученный результат в виде квадратного уравнения относительно ξ: ξ + h + ξ π (h + ) λ 3 = 0. (9)

9 Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин, Н. В. Филенкова, А. Ю. Власов 59 p p 0,0 p 8 p 0, ,0 h Рис. 7. Зависимости коэффициентов p, p от h Решая уравнение (9) относительно ξ и учитывая / k, получим выражение для ξ в зависимости от приведенной нагрузки: ξ (h + )( + π λ/4 )/4. (30) С учетом (7), () имеем зависимость стрелы прогиба от модуля k и приведенной нагрузки λ: f(λ) = 4(E(k) E(am [K(k) (π/) λ]))/(π λ ). (3) Разлагая выражение (3) в ряд по малым параметрам ξ и λ и пренебрегая членами выше второго порядка малости, получим f(λ) π λ ( 4 + π4 λ + ) ( π λ ξ π4 λ ) ξ (3) 40 С учетом (30), (3) находим приближенное выражение для стрелы прогиба в случае малых нагрузок λ и любых значений коэффициента h: f(λ) π (3h + ) λ + π4 (64h ) λ (33) 56 Выражение (33) является обобщением приближенных результатов (9) и (6) на случай произвольных h. Зависимость (9) более точно, чем (33), описывает стрелу прогиба при малых значениях коэффициента h. На основе асимптотических приближений [9] предложим аппроксимационную зависимость стрелы прогиба от нагрузки, коэффициенты которой определены методом нелинейной регрессии для конкретных значений коэффициента h: f(λ) = p (exp (( /(p λ + ) )) ). (34) Зависимость коэффициентов p, p от h в (34) показана на рис. 7 (средняя квадратичная ошибка не превышает 0,0004 для каждого случая). При определении по формуле (34) зависимости стрелы прогиба от нагрузки (при значениях нагрузок более трех критических) относительная ошибка составляет менее 3 %. Заключение. С использованием подхода работы [6] получены точные аналитические выражения (0) для форм изгиба упруго закрепленного гибкого стержня при нагружении поперечной нагрузкой постоянного направления. Отличие от работ [5, 6] состоит в том,

10 60 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 48, N- что при упругом закреплении стержня решения для прогибов зависят не только от эллиптического модуля k, определяемого величиной внешней нагрузки, углом наклона силы и модой решения, но и от коэффициента упругого закрепления h. Получены приближенные выражения для стрелы прогиба упруго закрепленного стержня для предельных случаев. ЛИТЕРАТУРА. Попов Е. П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.; М.: ОГИЗ, Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, Захаров Ю. В., Захаренко А. А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технологии Т. 4,. С Захаров Ю. В., Охоткин К. Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней // ПМТФ. 00. Т. 43, 5. С Захаров Ю. В., Охоткин К. Г., Скоробогатов А. Д. Изгиб стержней под действием следящей нагрузки // ПМТФ Т. 45, 5. С Сейранян А. П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Успехи механики С Захаров Ю. В., Охоткин К. Г., Власов А. Ю. Приближенные формулы для стрелы прогиба упругого стержня при поперечном нагружении // ПМТФ. 00. Т. 43, 5. С Поступила в редакцию 9/XII 005 г., в окончательном варианте 4/II 006 г.