Конспект урока по Математике «Вписанные и центральные углы» 8 класс
Развивающие : развитие логического мышления и пространственного воображения.
Использую: игровые технологии, информационно-коммуникационные технологии, проблемно –развивающие технологии, здоровье-сберегающие технологии.
Тип урока: комбинированный: КСО + развитие творческих качеств личностей.
Форма урока: урок – игра, обзор математического журнала . В игре участвуют две команды. Каждая команда выбирает капитана, ко$торый берет на себя руководство своей командой, поддерживает дисциплину, организует работу над заданиями.
Для игры используется презентация, используются цифровые образовательные ресурсы.
I .Организационный момент. Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами погрузимся в увлекательный мир математики, который откроет нам с вами математический журнал. Но чтобы проникнуть в них, надо вначале вспомнить то, что мы на сегодняшний день уже знаем.
1 страница журнала «Вспомни»
1.Определение вписанного и центрального углов.
II . Повторение материала прошлых уроков. Устно: а)Закончи предложение: $ 1 команда 1. Окружность — это угол в … (360° ) 2. Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным). 3.Угол с вершиной в центре окружности — … (центральный). 4.Наибольшее из хорд окружностей — … (диаметр). 5.Мера дуги равна мере … (центрального угла). 2 команда: 1. Центральный угол больше вписанного угла , опирающегося на ту же самую дугу…(в 2 раза).
2. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется … (касательной).
3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется … (хордой).
4.Г$еометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется … (окружностью).
5.Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется … (кругом).
Перед каждым из вас лист самоконтроля. После каждого этапа оцените себя.
$ Задание, создающее проблемную ситуацию: Верно ли, что
б)Найдите : х
Ответы: 1) 140 о ; 2) 65 о ; 3) 80 о ; 4) 45 $ о ; 135 о ;
2 страница «Готовимся к ГИА»
В модуле «Геометрия» встречаются задачи на вписанные и центральные углы.
Задача: Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности. Решение: Пусть АВ – рассматриваемая хорда, О – центр окружности. Построим радиусы: ОА и ОВ, получим треугольник АВС- равносторонний. У него все углы по 60 градусов. Пусть М – вершина вписанного угла. Т.К. Углы М и О опираются на одну дугу АВ , то угол М меньше угла О в 2 раза. Значит угол М равен 30 градусов.
Задача. [ Пробный ЕГЭ 2012] Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Решение Введем обозначения: АВ – хорда окружности; Точка О –центр окружности, угол АОВ – центральный, Точка С –вершина вписанного угла АСВ .
Пусть угол АСВ=:х, тогда центральный угол АОВ равен х+36. С д$ругой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Значит угол АОВ = 2АСВ. х+36=2х, х=36.Ответ: 36. Задача (Материалы подготовки к ЕГЭ. Точки А, В и С лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника АВС. Решение. Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x.В сумме эти дуги да$ют 360 градусов: AB + BC + AC = 360; x + 3x + 5x = 360; 9x = 360; x = 40.
Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Это дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна 5x = 5 • 40 = 200 градусов. Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем: ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100. Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC. Ответ 100. Задача [Пробный ЕГЭ 2012].
В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°,а угол B — 60°. Найдите угол ACD. Решение Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные. В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B6: отрезки и углы в треугольниках». Поэтому искомый угол ACD = A.
Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем: $ A + B + BCA = 180; x + 60 + 90 = 180; x = 30. Ответ:$30. Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же. 3 страница «Тест-прогноз» Закрепление. Решаем Тест- прогноз (дифференцированно-индивидуальный подход). Задания трех уровневые, капитаны команд выполняют на компьютере (ЦОР).
1 уровень . ТЕСТ. 1. Угол АСВ 38 $ о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96 о ; б) 114 о ; в) 104 о ; г) 76 о ;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО
а) 60 о ; б)40 о ; в) 30 о ; г) 45 о ;
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол $ АОС=126 о
а) 112 о ; б) 123 о ; в) 117 о ; г) 113 о ;
1. Угол МСК на 34 о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112 о ; б) 102 о ; в) 96 о ; г) 68 о ;
$ 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50 о ; б) 60 о ; в) 30 о ; г) 45 о ;
3. О – центр окружности, угол L =136 о . Найдите угол В. а) 108 $ о ; б) 118 о ; в) 112 о ; г) 124 о ;
$ 2 уровень. Вариант 3.
1. Угол EFG на 42 о меньше угла EOG найдите сумму углов. а) 102 о ; б) 126 $ о ; в) 84 о ; г) 116 о ;
2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL. а) 60 о ; б) 40 о ; в) 30 о ; г) 45 о ;
3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол EOD=174 $ о .