Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

1 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности те Π a n Так как n α β γ a P Q R можно записать в виде поверхностного интеграла -го рода то поток вектора a Π P α Q β R γ Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода поток вектора можно записать как Π P Q R Величина Π равна объему жидкости которая протекает через поверхность за единицу времени В этом состоит физический смысл потока Если поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем Тогда поток вектора записывается в виде Π a n В этом случае за направление вектора нормали n обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности Если векторное поле a a M есть поле скоростей текущей жидкости величина потока Π через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости вытекающей из области и втекающей в нее за единицу времени При этом если Π > то из области вытекает больше жидкости чем в нее втекает Это означает что внутри области имеются дополнительные источники Если Π < то внутри области имеются стоки поглощающие избыток жидкости

2 P M Теорема Пусть Τ - простое тело а Σ Τ - кусочно-гладкая поверхность Функции M M M M R M непрерывны на множестве Q R и их частные производные P Q Τ Σ Пусть Σ - внешняя сторона поверхности Σ Тогда справедлива формула P M Q R M P M Q M R M Τ Σ Σ которая называется формулой Остроградского Гаусса Важной характеристикой векторного поля является дивергенция характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля Дивергенцией или расходимостью векторного поля a M P i Q j R k в точке M называется скаляр вида P Q R и обозначается символом iv a M те P Q R iv a M Рассматривая область ограниченную замкнутой поверхностью можно утверждать что левая часть формулы Остроградского-Гаусса есть поток вектора a через поверхность ; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора a Следовательно формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде Π n a iv a Формула Остроградского Гаусса означает что поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали те изнутри равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему ограниченному данной поверхностью Примеры решения задач Дано векторное поле a M 5 6 i 8 j 9 k и пирамида с вершинами в точках O A B C 5 Найти поток векторного поля a a M через грань ABC пирамиды OABC в направлении внешней нормали Решение Найдем уравнение грани ABC заданной пирамиды воспользовавшись уравнением плоскости в отрезках

3 или 5 5 Определяем вектор внешней нормали к грани ABC: n 5 Конструируем из него единичный вектор нормали n 5 n n Находим скалярное произведение: a n По формуле определяем поток через грань АВС: Π Переходим от поверхностного интеграла к двойному интегралу проецируя грань ABC на плоскость O: Π D 9 D Здесь использовалась формула

4 5 Грань ABC определяется условиями : Проекцию D на плоскость O находим исключая из условий определяющих : 5 : D : 5 Отсюда D : Вычисляем двойной интеграл сводя его к повторному Π D Ответ: П Найти поток векторного поля F i j kчерез часть поверхности : вырезаемую плоскостью нормаль внешняя к замкнутой поверхности образуемой данными поверхностями Решение Поверхность является конусом проекция которого на плоскость Oху представляет собой круг радиуса Нормаль к поверхности найдем как градиент скалярной функции то есть Φ х у ga Ф i j - k Тогда единичная нормаль к поверхности имеет координаты: i j k n

5 Отсюда γ γ s Поток векторного поля F вычислим как поверхностный интеграл первого рода Fns П сводя его к двойному интегралу по проекции поверхности на плоскость ху: Π s D Поскольку областью D является кругом с центром в начале координат то удобно перейти к полярным координатам х у : П ] Упростив подынтегральное выражение вычислим внутренний интеграл Окончательно найдем Π Ответ: Π Найти дивергенцию векторного поля F х i у j k Решение Согласно определению дивергенции имеем P vf i R Q Ответ: vf i Найти поток векторного поля F через замкнутую поверхность если k j i F e e :

6 Решение Поток через замкнутую поверхность можно вычислить по формуле ОстроградскогоГаусса: П ivfv P Q R где ivf область ограниченная поверхностью Уравнение поверхности преобразуем к виду что это сфера радиуса с центром в точке C ; ; Найдем дивергенцию iv F Вычислим поток из которого видно П Объем шара вычисляется по формуле R поэтому П 8 Ответ: П 8 5 Найти поток векторного поля F i j k через замкнутую поверхность : нормаль внешняя Решение Поток через замкнутую поверхность вычислим по формуле ОстроградскогоГаусса Для этого найдем дивергенцию P Q R iv F 5 Поток равен тройному интегралу от дивергенции по области ограниченной снизу плоскостью сверху плоскостью а боковая поверхность представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси O Таким образом поток равен П ivfv внешняя Ответ: П 6 Вычислить поток П векторного поля a M через замкнутую поверхность нормаль 5

7 a i j k : Решение Для вычисления потока заданного векторного поля a M по заданной замкнутой поверхности воспользуемся формулой Остроградского Гаусса предварительно вычислив дивергенцию векторного поля iv a Тогда искомый поток по заданной замкнутой поверхности определится выражением Π где область ограниченная заданной замкнутой поверхностью рис и определяется неравенствами: : O Рис Область такова что удобно перейти к цилиндрическим координатам Имеем

8 : Переходя к цилиндрическим координатам в тройном интеграле получаем Π 8 8 Ответ П 7 Пользуясь формулой Остроградского Гаусса вычислить поверхностный интеграл второго рода где Σ - внешняя сторона поверхности тела Τ Σ заданного неравенствами Решение Сопоставляя данный поверхностный интеграл с поверхностным интегралом R Най- Функции формулы Остроградского Гаусса определяем P M Q M M дем частные производные этих функций P M Q M R M P M Q M R M и производные P M Q M M Тогда Σ Τ R удовлетворяют условиям теоремы 6 6 Τ Замкнутая поверхность Σ образована частью цилиндрической поверхностью двумя четвертями кругов и двумя прямоугольниками рис Для вычисления тройного интеграла целесообразно применить цилиндрические координаты

- пространственная область в системе координат O которая с помощью функций Отображается на пространственную область Τ Поскольку Τ