§2. Анализ финансовых операций и инструментов.
Найти решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвица ( задайте сами).
При данных вероятностях состояний проанализируйте имеющееся семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, нанесите для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат и выявите операции, оптимальные по Парето.
Затем найдите выпуклую оболочку множества полученных точек и дайте интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.
Придумайте пробную операцию, которая значительно сместит распределение вероятностей, и определите максимально оправданную стоимость пробной операции, используя какой-нибудь подходящий критерий эффективности операции (например, средний ожидаемый доход).
Выберите две какие-нибудь операции, предположите, что они независимы друг от друга и найдите операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.
Придумайте взвешивающую формулу и найдите по ней худшую и лучшую операции.
1.Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j-я, то было бы принято решение, дающее доход qi = max qij
Значит, принимая i-е решение мы рискуем получить не qj, а только qij, значит, принятие j-го решения в этом случае несет риск недобрать rij = qi – qij.
Составим матрицу рисков. Имеем q1 = max qi1= 2, q2 = 12, q3 = 18, q4 = 22.
Cледовательно, матрица рисков есть
2.Не все случайное можно измерить вероятностью. Неопределенность – понятие более широкое. Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?
Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход ai = min qij
Но теперь уж выберем решение i0 с наибольшим aio. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0, такое что
aio = max ai = max min qij
Найдем, какое решение рекомендует правило Вальда в данном примере. По условию имеем a1 = 2, a2 = 0, a3 = 2, a4 = 0.
Из чисел 2, 0, 2, 0 находим максимальное. Это – 2 .Причем его принимают два. Следовательно, правило Вальда рекомендует принять 1-е и 3-е решения.
Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применениии этого правила анализируется матрица рисков R = (ri j). Рассматривая i-е решение, предположим, что на самом деле складывается ситуация максимального риска
Но теперь уж выберем решение i0 с наименьшим bio. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i0, такое что
bio = min bi = min max rij .
Так, в данном примере, имеем b1 = 12, b2 = 4, b3 = 0, b4 = 8. Теперь из этих чисел находим минимальное. Это – 0. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.
Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум величины
min qij + (1 – max qij , где 01.
Предположим, что =1/2. Тогда получаем
I решение - 1/2·2 + (1-1/2)·18 = 10
II решение - 1/2·0 + (1-1/2)·20 = 10
III решение - 1/2·2 + (1-1/2)·22 = 12
IV решение - 1/2·0 + (1-1/2)·14 = 7
Следовательно, правило Гурвица рекомендует 3-е решение.
3 .Для нахождения среднего ожидаемого дохода применим правило минимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации i-го решения, является случайной величиной Qi с рядом распределения
qi1 . . . qin
p1 . . . pn
М атематическое ожидание M[Qi] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый так же Qi. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.
В задаче даны следующие вероятности состояний (1/5, 2/5, 1/5, 1/5), т.е.
Q 1: 2 4 6 18
Q 1 = 2·1/5 + 4·2/5 + 6·1/5 + 18·1/5 = 34/5
Q 2: 0 8 16 20
Q 2 = 0·1/5 + 8·2/5 +16·1/5 + 20·1/5 = 52/5
Q 3: 2 12 18 22
Q 3 = 2·1/5 + 12·2/5 + 18·1/5 + 22·1/5 = 66/5
Q 4: 0 4 10 14
Q 4 = 0·1/5 + 4·2/5 + 10·1/5 + 14·1/5 = 32/5
Максимальный средний ожидаемый доход равен 66/5, соответствует 3-у решению.
Для нахождения среднего ожидаемого риска применим правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i-го решения, является случайной величиной Ri с рядом распределения