Проверяемые элементы математической подготовки: владение понятием арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел N, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом , т.е.
Формула -ого члена арифметической прогрессии: ,
где - первый член ; - разность прогрессии, .- общий член .
При любом имеем: или ,
т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Формула для общего члена арифметической прогрессии N связывает четыре величины: , , и . Если три из них заданы, то из этой формулы можно найти четвертую величину. Приведем соответствующие формулы нахождения , и :
Сумма первых членов арифметической прогрессии:
При арифметическая прогрессия является монотонно возрастающей , а при монотонно убывающей .
- это формула общего ( -го) члена прогрессии. В частности,
и т.п. Число называется разностью арифметической прогрессии. Из приведенной формулы видно, что каждый следующий член арифметической прогрессии получается из предыдущего прибавлением некоторого фиксированного числа - той самой разности . (Именно это свойство кладется обычно в определение арифметической прогрессии).
Вторая формула, которую нужно помнить наизусть - это формула суммы (первых) членов арифметической прогрессии:
Наконец, полезно помнить следующее свойство, в какой-то мере оправдывающее название "среднее арифметическое": Если , , - последовательные члены арифметической прогрессии, то .
6. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Доказать, что последовательность с общим членом является арифметической прогрессией.
Решение . Воспользуемся формулой (4): , n 2. Эта формула выражает необходимое и достаточное условие того, что последовательность является арифметической прогрессией.
Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.
Пример 2. Найти a 1 и d , если a 11 = 6; a 16 = 8,5.
Ответ: а 1 = 1; d= 0,5.
Пример 3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.
Решение. Наименьшее трехзначное число, делящееся на 7 без остатка, есть 105, а наибольшее число – 994.
Пусть n – количество всех трехзначных чисел, белящихся без остатка на 7. Тогда a 1 = 105; a n = 994; d= 7 и 994 = 105+7( n -1) n= (994–98):7 = 128.
Пример 4. Велосипедист, едущий в гору, в первый час достиг высоты 200 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 20 м меньше, чем в предыдущий. За сколько времени он достиг высоты 900 м?
Решение: Пусть n – количество часов его подъема. Выпишем последовательность высот, на которое он поднимался за каждый час: 200; 180; 160; . . Получили арифметическую прогрессию, в которой a 1 = 200; d= –20; S n = 900.
Решая это уравнение, получим n 1 = 6; n 2 = 15.
Решение n 2 = 15 является посторонним, так как , что не может быть по смыслу задачи.
Ответ: за 6 часов велосипедист достиг высоты 900 м.
Пример 5. В концертном зале расположены 10 рядов. В каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем. В последнем ряду 280 мест. Сколько всего мест в концертном зале? Решение. На самом деле, необходимо выяснить, что именно означают числа, приведенные в задаче. 10 рядов - это то самое . 20 мест - это , разность прогрессии. Наконец, - это последний ее член. После того, как стал ясен смысл всех чисел, их можно подставить в готовую формулу:
Иногда некоторые данные, необходимые для получения ответа, должны быть найдены из дополнительных условий. Подчас эти условия бывают весьма замысловаты. Разберем еще несколько задач, каждый раз усложняя пример.
Пример 6. Третий член арифметической прогрессии равен 10, восьмой - 30. Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы в сумме получить 242? Решение. В этой задаче ни разность прогрессии, не ее первый член не заданы явно; их нужно найти, составив систему по данным задачи. Итак, используя формулу -го члена, имеем: , . Вычитая первое уравнение из второго, получим: , откуда . Тогда . Теперь можно составить уравнение, из которого мы найдем неизвестное нам :
Пример 7. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 5. Решение. Все такие числа имеют следующий вид . Первое трехзначное число такого вида, очевидно, 104. При этом . Последнее трехзначное число с требуемыми свойствами - это 995, при . Всего таких чисел 82. Тогда получится следующий результат:
Пример 8. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии:
= , чтобы получить сумму, равную 10877?
Решение. По условию , . Подставляя эти значения во вторую формулу суммы арифметической прогрессии:
после некоторых преобразований, получим уравнение:
Корни его: и ; из них годится только первый. Следовательно, надо взять 73 члена.
7. Тренировочные задания
1. Найдите восьмой член арифметической прогрессии 3; 7;
А. 33 Б. 34 В. 35 Г. 36
2. Найдите восьмой член арифметической прогрессии . Ответ:_____________
3. В арифметической прогрессии( ) . Найдите двенадцатый член этой прогрессии.
4. Какое число не является членом арифметической прогрессии: 5; 8; 11; ?
А. 53 Б. 62 В. 82 Г. 95
5. Найдите шестой член геометрической прогрессии 128; 64;
А. 2 Б. 4 В. 6 Г. 8
6. Найдите шестой член геометрической прогрессии . Ответ:_____________
7. Найдите четвертый член арифметической прогрессии ( ), если .
А. 9 Б. 10 В. 15 Г. 21
8. Найдите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии 4; 11;
А. 286 Б. 288 В. 290 Г. 292
9. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; Ответ:_____________
10. Ракета за первую секунду пролетела 300 м. За каждую следующую секунду ракета пролетала на 200 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние ( в километрах ) пролетела ракета за шестую секунду?
11. Ракета за первую секунду пролетела 300 м. За каждую следующую секунду ракета пролетала на 200 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние (в метрах) пролетела ракета за шесть секунд?
12. Поезд за первую минуту прошел 200 м. За каждую следующую минуту поезд проходил на 100 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние (в метрах) прошел поезд за n-ую минуту?
А. 100n + 200 Б. 100n + 100 В. 200n + 100 Г. 200n + 200
13. Найдите шестой член последовательности, заданной рекуррентным способом (n>2).
А. 5 Б. 6 В. 7 Г. 8
14. Последовательность ( ) задана формулой . Найдите номер члена последовательности, равного 7. Ответ:_____________
Геометрическая прогрессия
Определение. Геометрической прогрессией называется такая последовательность чисел , что каждый следующий ее элемент получается из предыдущего умножением на некоторое фиксированное число , называемое знаменателем прогрессии
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел b 1 , b 2 , . b n , . , для которой имеют место соотношения:
b 1 – заданное число, первый член прогрессии;
b n =b n-1 q – n -й член прогрессии ( n 2), задается рекуррентной формулой;
q – заданное число ( q 1), знаменатель прогрессии.
Если q n -го члена ( n 2);
– формула суммы n первых членов;
– формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Решение. Запишем условие задачи. Имеются четыре числа: , , , . Известно, что и . Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что и . Из второго уравнения , что можно подставить в первое уравнение и получить: , откуда следует квадратное уравнение , корнями которого являются числа 24 и 3. Находя (что очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24: и соответствует , , второй - ( , ). (То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями и - обычная в подобных задачах ситуация).
Пример 2. Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии. Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель. Решение. Запишем условие задачи: , выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии: откуда после сокращения и . Ответ: .
Пример 3. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии. Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый член - и знаменатель - этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра. Задача предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета. Решение. Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере. ; , откуда и в качестве следствия из предыдущего примера получим . Найдем теперь : и откуда окончательно: .
Пример 4. Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма первого и третьего членов равна 52, а квадрат второго равен 100.
Решение. По условию имеем:
Из второго уравнения имеем: По свойству геометрической прогрессии: , следовательно, по теореме обратной теореме Виета и - корни уравнения:
Отсюда найдем: и или и .
Ответ: Числа будут : 1) 50; 10; 2 или 2) 50; -10; 2 или 3) 2; 10; 50 или 4) 2; -10; 50.
Пример 5. Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии , у которой b 1 =4 и q= ?
Решение: Если b n = 75 есть n -й член геометрической прогрессии, то должно выполняться соотношение: , где n – натуральное число. То есть . Решим это уравнение.
– не является натуральным числом.
Ответ: число 75 не может быть членом заданной геометрической прогрессии.
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Левая часть уравнения – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , у которой b 1 =x 2 ; q= – x , если q x x 1 x 2 Ответ:
Пример 7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа.
Решение . Пусть данные числа a, b, c .
геометрическая прогрессия: a, b, c .
Арифметическая прогрессия: a, b+ 2 , c .
Геометрическая прогрессия: a, b+ 2 , c+ 9.
Решаем второе уравнение. Имеем после преобразований
Подставляя эти значение в систему уравнений, получим:
Ответ: (4; 8; 16) или .
8. Контрольное тестирование
1. В геометрической прогрессии . В каком случае при сравнении членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?
2. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 3; 6; 9; 12; …?
А. 83 Б. 95 В . 100 Г. 102
3.Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?
А . Последовательность натуральных степеней числа 2
Б . Последовательность натуральных чисел числа 7
В. Последовательность квадратов натуральных чисел
Г . Последовательность чисел, обратных натуральным.
4. В первом ряду амфитеатра концертного зала 30 мест, а в каждом следующем на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
А . 30 + 4 n Б . 26 + 4 n В . 34 + 4 n Г . 4 n
5. Арифметическая прогрессия задана условиями: Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
А . 14 Б . 18 В . 22 Г . 25
Фигура составляется из столбиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем столбике на 2 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 20-м столбике?
А . 20 Б . 39 В . 40 Г . 41
7. Геометрическая прогрессия ( ) задана условиями: . Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.
8. Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
А . 1 Б . 2 В . 3 Г . 4
9. Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число –10.
10. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – геометрическая прогрессия. Укажите её.
А. Б . 1; 3; 5; 7; … В . 1; 2; 4; 8; … Г . 1; 2; 3; 5; …
11. Последовательность задана формулой . Какое из чисел не является членом этой последовательности?
12. Последовательность задана формулой . Сколько членов этой последовательности больше 1? А. 10 Б. 9 В. 8 Г. 7