Повторные независимые испытания.Схема и формула Бернулли
Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная, теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона, для маловероятных случайных событий.
Повторные независимые испытания
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие появлений события испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события повторными независимыми.
Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли
Воспользуемся понятием сложного события , под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события –м испытании. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно раз. Обозначим появление события — непоявление события –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем
Событие раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно :
где в каждое произведение событие раз, а — раз.
Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события (обозначим ее )
Формулу (3.2) называют формулой Бернулли , а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события испытаниями Бернулли , или схемой Бернулли .
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем
Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
Наивероятнейшее число появлений события
Наивероятнейшим числом появления события независимых испытаниях называется такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события и вероятность появления события вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу . Используя формулу (3.2), записываем
Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события и раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность , т. е.
Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностей и , получаем
Решая эти неравенства относительно , получаем
Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа:
Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е.
и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:
1) если — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;
2) если — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);
3) если — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .
При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга
справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу:
Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.
Решение. По условию . Согласно неравенству (3.4) имеем
откуда . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из 250 шт. равно 234. Подставляя данные в формулу (3.5), вычисляем вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность появления события того, что событие испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции
Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента четна, т. е. .
Итак, приближенно вероятность того, что событие испытаниях ровно раз,
Пример 3. Найти вероятность того, что событие Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:
Вычислим определяемое данными задачи значение
По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):
Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события . Необходимо вычислить вероятность того, что событие испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить "от до раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.
Теорема 3.2. Если вероятность наступления события того, что событие до раз,
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в прил. 2, где даны значения функции для положительных значений используют ту же таблицу (функция нечетна, т. е. ). Таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .
Итак, приближенно вероятность того, что событие независимых испытаниях от до раз,
Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.