П. 1 Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1. Пусть некоторая материальная точка движется по оси x , так что x ( t ) есть координата точки в момент времени t . Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость.

Задача 2. Пусть  ( t ) есть количество вещества прореагировавшего за время t . Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то есть

Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет мгновенную скорость химической реакции.

Пусть функция определена на промежутке X , точка  X , дадим ей приращение , величина называется приращением аргумента. В каждой из этих точек посчитаем значение функции и . Тогда можно говорить о приращении функции .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при стремлении аргумента к нулю, то он называется производной функции по аргументу в точке

Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, называется дифференцируемой в промежутке , если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

п.2. Физический и геометрический смысл производной

Физический смысл производной .

Значение производной функции в точке  есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке (скорость процесса в любой момент времени).

Геометрический смысл производной.

Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М 0 ( , ) и М ( , ) секущей.

Тогда дробь = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М 0 МТ отношение катетов)

При точка M начинает двигаться к точке M 0 . При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M 0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M 0 . Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х . Поэтому можно утверждать, что

где  угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX, k  угловой коэффициент касательной.

С геометрической точки зрения дифференцируемость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.

Определение. Касательной к графику функции в точке М 0 ( x 0 , y 0 ) назовем предельное положение секущей М 0 М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М 0. Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью .

Уравнение касательной к графику функции в точке М 0 ( x 0 , y 0 ): .

Уравнение нормали к графику функции в точке М 0 ( x 0 , y 0 ): .

Определение. Если функция определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x 0 и существует

то он называется производной от функции в точке x 0 слева , а

производной в той же точке справа .

Теорема 1. ( Необходимое и достаточное условие существования производной в точке)

Функция имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем

Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке)

Если функция имеет производную в точке x 0 , то она в этой точке непрерывна.

Следствие. Если существует производная = , то , где  б.м. при .

Замечание. Теорема 2 утверждает, что непрерывность функции в точке является необходимым условием существования в этой точке производной. Обратное утверждение неверно.

1) Пусть и существуют, но не равны друг другу.

В этом случае не существует и . График функции имеет в точке x 0 в этом случае «излом», и в этой точке к графику можно провести две касательные.

2) Рассмотрим функцию . Докажем, что в точке x 0 =0 функция не имеет производной.

Следовательно,  и не существует и функция не дифференцируема.

3) Бесконечная производная.

Рассмотрим функцию , определенную для значения и найдем . Имеем

Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

Наконец, может быть ситуация, когда предел, фигурирующий в определении производной, не существует.

так как . Поэтому, полагая , получим

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.

п.3. Правила дифференцирования

Теорема 3. Пусть и  дифференцируемые функции и с  константа, тогда справедливы соотношения

5. Теорема 4. Пусть функция имеет производную в точке x 0, функция имеет производную в точке . Тогда функция будет иметь производную в точке x 0 и справедливо соотношение

6. Теорема 5. Пусть  обратная функция к функции , имеющей производную в точке y 0, причем 0. Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем