Решение текстовых задач на проценты. 9-й класс

Ребята, тема нашего сегодняшнего урока “Решение текстовых задач на проценты”.

Многие задачи в математике связаны с понятием “проценты”, “процентное содержание”. Эти задачи входят в задания по итоговой аттестации.

Слово “процент” происходит от латинского слова pro centum,что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотовых долях. Процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.

Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Актуализация опорных знаний и умений.

- Что называется процентом ( сотая часть числа)

- В какой форме еще можно записывать проценты? (Проценты можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби)

Задание 1. ( устно) Соотнести проценты и соответствующие им дроби (Приложение 1)

- При решении задач используются основные сокращенные процентные отношения

- Основные задачи на проценты – это:

- 1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти р % от а, надо а*0,01р

- 2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что р% числа равно b, то а = b: 0,01р

- 3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%

Задание 2. Произвести расчеты ( ответы записать на листах, с последующей проверкой)

Найти 25 % от 56 (14) Сколько % составит 30 от 75? (40) Найдите число, 20% которого равны 12. (60) Какое число, увеличенное на 13% составит 339 ? (300) На сколько % число 150 больше числа 120? (25)

В магазине А цену на товар сначала увеличили на 30%, затем снизили на 30%. В магазине Б - снизили на 30 %, затем увеличили на 30%. Где выгодно совершить покупку? (цены одинаковые)

2. Решение основных задач на проценты

- На уроках математике мы решаем много задач. Но нужны ли проценты нам в обычной жизни?

- Проценты прочно вошли в нашу жизнь – скидки, налоги, кредиты, на любой продуктовой этикетке мы встречаем проценты.

Для решения я предлагаю вам задачи из нашей повседневной жизни.

При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

300 * 0,05= 15 р – комиссия

300 + 15 = 315 сумма вместе с комиссией;

320 р - надо положить на счет.

Задача 2 (из задач учеников)

На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

20000*0,16 = 3200 – один год

20000 + 3200 = 23200 р

23200:12= 1933 р

Задача 3 ( ЕГЭ )

Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

5000 – 3000 = 2000 – на столько снижена цена на телефон

2000: 5000 *100 = 2:5 *100 = 0,4 *100 = 40 %

3. Задачи на смеси и сплавы.

На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы. При решении таких задач мы используем таблицу.

Таблица для решения задач имеет вид (на доске)

Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Сумма масс некоторого вещества в двух первых растворах (то есть в первых двух строчках) равна массе этого вещества в полученном растворе (третья строка таблицы):

20 x = 8*0,15 + 12 * 0,25

20 x = 1,2 + 3 = 4, 2

x = 4,2 : 20 = 0,21 = 21 %

Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (правило креста).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Данный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Применим правило “креста”.

Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.

100 : ( 20 + 30 ) = 2 г - на 1 часть.

2 * 20 = 40 г – 20% раствора

2 * 30 = 60 г – 70 % раствора

Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.

Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

Решить задачу разными способами: системой уравнений, линейным уравнением, “крестом”.

1 способ: (система уравнений)

0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

2 способ: ( линейное уравнение)

х * 0,1 + ( 3 - х ) * 0,25 = 3 * 0,2

х * 0,1 + 0,75 - х * 0,25 = 0,6

х = 1, значит 3 – 1 = 2.

Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение ).

Вывод: Разные способы решения дают одинаковый результат. И вы сами выбираете тот путь решения, который больше подходит для данной задачи.

4 этап. Рефлексия

• Сегодня на уроке я повторил .
• Сегодня на уроке я узнал .
• Сегодня на уроке я научился .

5 этап. Домашнее задание (карточки каждому ученику, задачи разного уровня)

Критерии оценки домашнего задания:

Решить данные задачи двумя способами. Уровень сложности выбираете самостоятельно.