Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности их известны Теорема Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P ( Следствие Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P ( Пример Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух различных машин, имеющихся на предприятии Известны вероятности выделения каждой машины p 0, и p 0, 4 Найти вероятность того, что к складу будет подана хотя бы одна из этих машин Решение Обозначим событие - к складу будет подана первая машина, событие - к складу будет подана вторая машина Событие «к складу будет подана хотя бы одна из двух машин» означает, что наступит событие или событие Эти события несовместны По теореме сложения P p 0, 0,4 0,6 ( p Теорема умножения вероятностей Условная вероятность Опыт, в результате которого произошло событие, - это совокупность определенных условий S При вычислении вероятности такого события никакие другие условия кроме S, не учитываются Такую вероятность называют безусловной Если налагаются некоторые дополнительные условия, то вероятность называют условной Например, вычисляют вероятность события при условии, что произошло некоторое другое событие Такая вероятность определяется равенством B /, 0 Пусть известны вероятности P ( и P ( B / Теорема (умножения Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: P ( B /

2 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Замечание В силу симметрии определения независимости событий и B формулу из теоремы умножения можно также записать в виде: P ( Следствие Для нескольких событий вероятность их совместного наступления равна / / / Пример Выпущено 00 лотерейных билетов, среди которых 5 выигрышных Покупатель приобрел билета Найти вероятность того, что оба билета выигрышные Решение Обозначим событие - первый приобретенный билет выигрышный, событие B - второй приобретенный билет выигрышный Вероятность того, что оба билета выигрышные найдем с помощью теоремы умножения: P ( B / По формуле классической вероятности вероятность P ( B / 4 99 P ( Условная Эта вероятность вычисляется с учетом того, что уже куплен один выигрышный билет Всего осталось лотерейных билетов 99, а выигрышных 4 Таким образом, искомая вероятность 5 P ( B / Независимые события Теорема умножения для независимых событий Определение Событие B называют независимым от события, если появление события не изменяет вероятности события B, те вероятность события B не зависит от того, произошло событие или нет: P ( B / По теореме умножения P (, те событие не зависит от события B Таким образом, свойство независимости событий взаимно Теорема (умножения для независимых событий P ( Это равенство можно взять в качестве определения независимых событий Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое

3 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика событие и всевозможные произведения остальных Очевидно, что если несколько событий попарно независимы, то отсюда не следует их независимость в совокупности Следствие из теоремы умножения Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий: P ( Вероятность появления хотя бы одного события Пусть в результате опыта могут появиться событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого из них известны и равны p i, i, Найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий Теорема Вероятность появления хотя бы одного из событий. независимых в совокупности, равна P ( q q q, qi pi, i, Следствие Если все события имеют одинаковую вероятность p, то q, q p Пример Студенту-заочнику к началу сессии необходимо сдать три контрольные работ по трем дисциплинам Вероятность того, что эти работы будут зачтены до начала сессии соответственно равны 0,8; ; 0,9 Какова вероятность того, что будут зачтены: а все три работы, б только две работы, в по крайней мере две работы, г хотя бы одна работа? Решение Рассмотрим следующие элементарные события: - зачтена первая контрольная работа, - зачтена вторая контрольная работа, - зачтена третья контрольная работа По условию задачи P ( 0, 8; P ( 0, 5; P ( 0, 9 а Событие - зачтены все три контрольные работы, заключается в том, что зачтены и первая и вторая и третья контрольные работы, то есть имеет место

4 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика произведение событий,, и Так как события,, независимы в совокупности, то 0,8 0,9 0,6 б Событие B - зачтены все две контрольные работы - предполагает наступление одного из трѐх событий:, или, или, то есть имеет место сумма событий B Так как слагаемые представляют собой несовместные события, то 0,8 0,04 0,6 0,09 0, 0,8 0,9 0,49 0, 0,9 в Событие C - зачтены все по крайней мере две контрольные работы заключается в том, что зачтены или или контрольные работы, то есть C - сумма событий C B Так как события и B несовместны, то C 0,6 0,49 0,85 г Пусть событие D зачтена хотя бы одна контрольная работа Рассмотрим противоположное событие D не зачтена ни одна контрольная работа, то есть D Тогда D D 0, 0, 0,0 0,99 Теорема сложения для совместных событий Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании Пусть события и B совместны, известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления Теорема (сложения совместных событий Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P ( Замечание Если события и B независимы, то P ( и формула принимает вид P ( Для зависимых событий формула имеет вид:

5 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика P ( B / В частности, если события и B несовместны, то P ( 0 и получаем установленную ранее теорему сложения Пример Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, в для второго 0,8 Найти вероятность поражения цели Решение Обозначим событие А первый стрелок попал в цель, событие В второй стрелок попал в цель События А и В независимы и совместны Цель будет поражена, если попал хотя бы один из стрелков Для вычисления вероятности поражения цели воспользуемся теоремой сложения P ( 0,9 0,8 0,9 0,8 0,98 Заметим, что этот результат можно получить, воспользовавшись формулой для вычисления вероятности наступления хотя бы одного события: P ( ( 0,9( 0,8 0,98 Пример В группе из 5 туристов 5 человек владеют английским языком, 0 немецким, а 5 обоими языками Найти вероятность того, что случайно выбранный из группы турист владеет по крайней мере одним из этих языков Решение Введем событие: А выбранный турист владеет английским языком, В выбранный турист владеет немецким языком Тогда событие B означает, что турист владеет хотя бы одним из этих языков По условию задачи P ( 0,6, P ( 0,4, P ( 0,, По теореме сложения совместных событий имеем: 0,6 0,4 0, 0,9 Формула полной вероятности Пусть событие может наступить при появлении одного из несовместных событий. которые образуют полную группу Пусть известны вероятности этих событий P и условные вероятности i, i, Требует найти вероятность события Теорема Вероятность события, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез. образующих полную группу событий, вычисляется по формуле (формуле полной вероятности: P / ( i (

6 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Пример В салоне имеются в продаже телефоны трех производителей в соотношении ::5 Вероятность выпустить бракованный телефон для первого производителя 0,0, для второго - 0,0, для третьего - 0,05 Найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным Решение Обозначим событие - случайно выбранный телефон оказался бракованным, гипотезы - телефон выпущен первым фирмой, - телефон выпущен вторым производителем, - телефон выпущен третьим производителем Из условия задачи найдем вероятности гипотез 5 P ( 0,, P ( 0,, Известен также процент брака для каждой из трех фирм, поэтому P 0,0, 0,0, 0,05 ( Используя формулу полной вероятности 0,0 0, 0,0 0, 0,05 0,04 Формула Байеса Пусть событие может наступить при появлении одного из несовместных событий. которые образуют полную группу Формула полной вероятности дает вероятность наступления события В этой формуле используются вероятности гипотез P ( i до опыта (априорные вероятности гипотез Допустим, что уже произведено испытание, в результате которого наступило событие Как изменилась в связи с этим вероятность каждой гипотезы? Ставится задача вычисления вероятностей гипотез после опыта (апостериорных вероятностей гипотез Эти вероятности могут быть вычислены по формуле Байеса: i i i, i,, или i i i, i, Пример В магазине продают телевизоры трех фирм: 0% составляет продукция первой фирмы, 0% составляет продукция второй фирмы, 50% составляет продукция третьей фирмы Доля бракованной продукции для первой фирмы составляет 5%, для второй %, для третьей % Покупатель наудачу купил телевизор Он оказался бракованным Найти вероятность того, что телевизор выпущен второй фирмой

7 МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Решение Обозначим событие - «наудачу купленный телевизор оказался бракованным», гипотезы - «телевизор выпущен первой фирмой», - «телевизор выпущен второй фирмой», - «телевизор выпущен третьей фирмой» По условию P ( 0,, P ( 0,, Известен также процент брака для каждой из трех фирм, поэтому P 0,05, 0,0, 0,0 ( По формуле Байеса искомая вероятность / 0,05 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 Пример Три стрелка произвели залп по одной цели, причем две пули попали в цель Известно, что вероятности попадания в цель первого, второго и третьего стрелков равны соответственно p 0, 4, p 0,, p 0, 5 Найти вероятность того, что первый стрелок попал в цель Решение Обозначим событие - «две пули попали в цель», гипотезы - «первый стрелок попал», - «первый стрелок не попал» По условию P ( 0, 4, P ( 0, 6 Найдем условную вероятность P ( - вероятность того, что в цель попало две пули, причем одна из них была послана первым стрелком Значит, вторая пули была послана либо вторым стрелком (при этом третий стрелок промахнулся, либо третьим стрелком (при этом второй стрелок промахнулся Эти события несовместны По теореме сложения получим: P p q p 0, 0,7 ( q p, q p где q Найдем условную вероятность P ( / - вероятность того, что в цель попало две пули, причем первый стрелок промахнулся, те попали в цель второй и третий стрелки P p 0, P ( ( p По формуле Байеса искомая вероятность / 0,4 0,4 0,6 0 9