Случайные величины. Их законы распределения

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4). Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин. Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной. Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины. Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Х х1 х2 … хn … Р р1 р2 … рn …

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1. Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения. Существует ряд законов распределения:

Биномиальное распределение случайной величины

p – вероятность наступления события в одном испытании. q – вероятность не наступления события в одном испытании q = (1-p) n – количество испытаний k – предполагаемое количество наступления желаемого события Формула Бернулли, позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз.

Пуассоновское распределение. Ситуация, когда вероятность появления события в каждом испытании близка к 0 (такие события называются редкими явлениями), а количество испытаний велико. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит m раз, приближенно равна:

n – количество испытаний m – предполагаемое наступление желаемого события p- вероятность наступления события в одном испытании Пример: Установлено, что при транспортировке в вагоне более 5000 изделий портится в среднем одно изделие. Найти вероятность того, что испортится три изделия. (0,06).

Нормальное (гаусовское) распределение Это основной закон теории вероятностей. В пределе все законы стремятся к нормальным законам распределения. Сумма бесконечного числа случайных величин, распределенных по любым законам, в итоге приобретает нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

– Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений возможных значений случайной величины на вероятности их появления

Дисперсия - для оценки степени разброса (отклонения) какого-то показателя от его среднего значения используются понятия дисперсии.

Дисперсия выборки или выборочная дисперсия – это мера изменчивости переменной. Дисперсия вычисляется по формуле:

где х — выборочное среднее, N — число наблюдений в выборке. Дисперсия меняется от нуля до бесконечности. Крайнее значение 0 означает отсутствие изменчивости, когда значения переменной постоянны. - среднеквадратическое отклонение случайной величины (квадратный корень из дисперсии.)

График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра u (при неизменном значении ) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох. Нормальное распределение с параметрами =0 и =1 называется нормированным. Функция распределения случайной величины в этом случае будет иметь вид:

Для =0, =1 график принимает вид:

Эта кривая при =0, =1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.

Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных

Показательное (экспоненциальное) распределение

- интенсивность (среднее число событий в единицу времени)

Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается данным выражением, называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы , показательное распределение определяется только одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

График функций показательного распределения имеют вид:

Вероятность попадания случайной величины X в интервал [a - b]:

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Равномерное распределение Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

где N – количество возможных значений СВ.

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

11.Функция распределения и её свойства.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X. Из геометрической интерпретации наглядно можно вывести основные свойства функции распределения.

3. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x1 < x2

Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадет на участок от α до β (включая α) равна приращению функции распределения на этом участке.

Таким образом, функция распределения F(x)любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0≤F(x)≤1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1.

12. Функция распределения дискретной и непрерывной случайной величины.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x1 x2 … xi … p1 p2 … pi …

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве , называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

13. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1. Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

14. Связь функции распределения и плотности распределения. Интегральная формула полной вероятности.

Зная плотность распределения F(X), можно найти функцию распределения F(X) по формуле

Действительно, F(X) = P(X < X) = P(-∞ < X < X).

Таким образом, Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения, а именно:

F(X) = F'(X). 15. Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью описывает случайную величину с

вероятностной точки зрения. Но часто достаточно указать только отдель-

ные числовые параметры, которые позволяют в сжатой форме выразить

наиболее существенные черты распределения. Такие параметры называ-

ются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик можно выделить характеристики по-

ложения, т. е. некие средние, ориентировочные значения случайной вели-

чины, около которых группируются ее возможные значения.

К числовым характеристикам относятся:

16.Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .

Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

x1 x2 . xn p1 p2 . pn

называется величина , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px(x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

Основные свойства математического ожидания:

· математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

· математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и bсправедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

· математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).

17.Диспрсия случайной величины и её свойства.

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx ) 2 .

Легко показать, что Dx = M(x - Mx ) 2 = Mx 2 - M(x ) 2 .

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используетсясреднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

· дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

· дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

· для произвольной константы D(cx ) = c 2 D(x );

· дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D(x ±h ) = D(x ) + D (h ).

18. Момент порядка k случайной величины, абсолютный и центральный моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx ) k .

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a 2 = Mx 2 = M(x - Mx ) 2 =Dx .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

случайной величин ы X - математич. ожидание Обычное обозначение А. м. таким образом,

Число r наз. порядком А. м. Если F(х).- функция распределения X, то

и, напр., если распределение Xимеет плотность p(х), то

19. Мода и Модой

случайной величины X называют ее наиболее вероятное значение, т. е. то,

для которого вероятность pi

или плотность распределения f (x) дости-

гают максимума. Моду обычно обозначают через Mx

. Если многоугольник вероятности или плотность распределения достигают максимума в

нескольких точках, то такие распределения называют полимодальнымимедиана случайной величины.

Медианой непрерывной случайной величины X назы-

вается такое ее значение хm , для которого

20. Квантиль уровня x распределения случайной величины.

-кванти́ль случайной величины с функцией распределения — это любое число удовлетворяющее двум условиям:

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

Если — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка который однозначно определяется из уравнения и, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

§ если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилем порядка . Для этой точки выполнены соотношения: и (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).

§ если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантиля порядка может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины в данный интервал равна нулю.

21.Асимметрия и эксцентриситет распределения случайной величины.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,

где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если жеg (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения.

22. Биномиальный закон распределения.

23. Нормальный закон распределения случайной величины. Теория Лапласа-Ляпунова. Нормальное (гаусовское) распределение Это основной закон теории вероятностей. В пределе все законы стремятся к нормальным законам распределения. Сумма бесконечного числа случайных величин, распределенных по любым законам, в итоге приобретает нормальный закон распределения.

Для =0, =1 график принимает вид:

Пусть x 1, x 2, …, x n, …- неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями m1, m2, …, mn, … и дисперсиями s 1 2 , s2 2 , …, s n 2 … . Обозначим , , , .

Тогда = Ф(b) - Ф(a) для любых действительных чисел a и b , где Ф(x)- функция распределения нормального закона.

Пусть в каждом из независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью , (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через вероятность ровно появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между и .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎