Представление Обзор научных результатов Б.В. Федосова

Научные интересы Б.В. Федосова концентрируются вокруг теоремы об индексе эллиптических операторов. Однако сначала стоит упомянуть его ранние работы 62 - 65 годов, где изучается спектральная асимптотика краевых задач для оператора Лапласа. В то время очень актуальной была проблема второго члена асимптотики

Эта формула была тогда доказана только для куба сведением к теоретико-числовому результату о числе целых точек в шаре. В общем случае был только главный член с оценкой остатка . Б.В. Федосов в своей кандидатской диссертации показал, что для многогранных областей оценку можно улучшить до . В другой работе (совместно с Н.В. Кузнецовым) формула (1) была доказана для областей на плоскости, допускающих разделение переменных в полярных координатах (позже Н.В. Кузнецов распространил эту теорему на произвольные плоские области, допускающие разделение переменных). Это был первый результат в проблеме второго члена задолго до общей теоремы В.Я. Иврия.

Следующий этап исследований, итоги которого подведены в большой статье в "Трудах ММО", имеет прямое отношение к теореме об индексе. Здесь был предложен новый аналитический подход к доказательству этой теоремы. Многие конструкции из этого подхода оказались очень эффективными и в дальнейшем зажили самостоятельной жизнью. Суть подхода состоит в том, что помимо аналитического и топологического индексов вводится промежуточная ступень - так называемый алгебраический индекс. При этом псевдо-дифференциальный оператор заменяется дифференциально-геометрическим объектом - так называемым формальным символом. Переход от аналитического к алгебраическому индексу - это относительно простая задача, которая решается полностью средствами анализа. Второй переход от алгебраического к топологическому индексу более труден -это задача из области некоммутативной дифференциальной геометрии, которая к тому времени (начало 70-х годов) ещё не была разработана. Б.В. Федосову удалось её решить только для операторов в евклидовом пространстве. Здесь была предложена процедура усреднения, которая переводит умножение формальных символов в некое новое умножение матричнозначных дифференциальных форм. Впоследствии Д. Квиллен дал ему название "произведение Федосова" и выяснил его важную роль в некоммутативной дифференциальной геометрии.

Эти результаты довольно быстро получили мировую известность благодаря тому, что Л. Хёрмандер переизложил их и включил в свой известный труд "Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных".

Удобство трёхступенчатого подхода (аналитический индекс - алгебраический индекс - топологический индекс) проявилось при рассмотрении краевых задач. И здесь первый переход осуществляется достаточно просто. Все дальнейшие гомотопии, необходимые для второго перехода, можно производить в алгебре формальных символов, не заботясь о том, поднимаются ли эти деформации в алгебру операторов или нет. И хотя в рамках алгебры Буте де Монвеля их всё же можно поднять, тем не менее делать это вовсе не обязательно. Результаты Б.В. Федосова по индексу краевых задач были развиты С. Ремпелем и включены в книгу С. Ремпеля и Б.-В. Шульце.

В работе "Индекс случайных эллиптических операторов" (совместно с М.А. Шубиным) возможность манипулировать с формальными символами вместо операторов сыграла решающую роль, избавив от необходимости глубокого вероятностного анализа алгебры случайных операторов.

Отметим также работу 1978 года "Теорема периодичности в алгебре символов", где предвосхищаются некоторые результаты некоммутативной дифференциальной геометрии, полученные М. Каруби в 80-х годах.

Дальнейшее исследование алгебры формальных символов привело Б.В. Федосова к мысли, что её можно определить на произвольном симплектическом многообразии, а не только на кокасательных расслоениях. Это привело его в 1985 году к замечательной геометрической конструкции деформационного квантования на любом симплектическом многообразии. Теорема существования уже была доказана М. де Вильде и П. Лекомтом (1983), однако конструкция Федосова выгодно отличалась простотой и изяществом. Позже, Федосов дал классификацию таких квантований с точностью до эквивалентности. Но самым интересным было то, что в рамках алгебры квантовых наблюдаемых удалось ввести понятие алгебраического индекса и доказать для него теорему об индексе, аналогичную теореме Атьи-Зингера. В простейших случаях индекс оказывается полиномом по обратным степеням постоянной Планка, которая в деформационном квантовании является формальным параметром. Отметим, что в других версиях квантования постоянная Планка - это положительный числовой параметр, удовлетворяющий так называемым "условиям квантования", которые в деформационном квантовании обессмыслены, их в принципе не может быть. Б.В. Федосов дает простое объяснение этому "исчезновению": условия необходимо появятся, если попытаться представить алгебру наблюдаемых с помощью операторов, зависящих от малого числового параметра, а именно, всевозможные индексы должны быть целыми числами. Он доказывает эквивалентность этих условий условиям Карасева-Маслова в асимптотическом квантовании и приводит конструкцию асимптотического операторного представления в гильбертовом пространстве, основанную на наших с Карасёвым работах.

Эти замечательные результаты оставались некоторое время в тени, пока не были опубликованы на английском языке, после чего они получили широкий международный резонанс. В 1994 году А. Вейнстейн делает доклад на семинаре Бурбаки, в основном посвящённый их изложению. Результаты Б.В. Федосова получили дальнейшее развитие в работах А. Вейнстейна и П. Делиня. Термины "квантование Федосова", "связность Федосова", "многообразия Федосова" появляются на страницах работ по квантованию.

Несколько в стороне от основного русла стоит работа, где получено обобщение теоремы Атьи-Ботта-Лефшеца о неподвижной точке, в которой рассматриваются гамильтоновы потоки вместо геометрических эндоморфизмов; теорема о неподвижной точке для них получается методом стационарной фазы. В дальнейшем эту тематику интенсивно развивали Б.Ю. Стернин и В.Е. Шаталов.

С 1993 года Б.В. Федосов активно сотрудничает с рабочей группой по уравнениям в частных производных при Потсдамском Университете, руководимой Б.-В. Шульце. В Потсдаме он пишет книгу ``Deformation Quantization and Index Theory'' которая издаётся в 1996 году. Здесь подробно излагаются результаты, относящиеся к деформационному квантованию. Сотрудничая с Потсдамской группой, Б.В. Федосов снова возвращается к теоремам об индексе эллиптических операторов, но теперь уже на многообразиях с особенностями. Понятие формальных символов и алгебраического индекса оказалось полезным и в этой ситуации, значительно более сложной, чем в случае гладкого многообразия.

Заканчивая обзор, отметим недавнюю работу по редукции в деформационном квантовании, где доказывается, что каноническая конструкция деформационного квантования коммутирует с классической и квантовой редукцией при гамильтоновом действии группы симметрий. Это утверждение является аналогом недавно доказанной гипотезы Гийемина-Стернберга в геометрическом квантовании.